E = HO

Si l'on appelle p le rayon de courbure de la section '■>, on aura

Om^fjî ou bien p = 0/// —

CIIAPITHE I. - THEORIE GENERALE. 27

La courbe D ayant une inflexion en 0, l'angle E est infiniment petit du second ordre; Om et o' sont infiiiimcnl [iclites du premier ordre : le rayon p a donc une i;randenr finie.

La déviation o est donnée par l'équation (21), dans laquelle on doit attribuer à H une ifrandeur infinie. On trouve

v'-HiRi

Ln portant cette valeur de 0 dans l'étpiation (pie nous venons d'obtenir et remarquant que Om est la valeur désignée par cf., on a

Ev— H.Kî

Kiifin, si [-j est l'ordonnée du point de la courbe 12 qui correspond à l'abscisse ■/, on aura, d'après l'équation [2],

et, [)ar suite,

aSy— Ril*2

817 fl. Celle formule est nouvelle; nous croyons en conséquence qu'il n'est pas sans intérêt de la confirmer par une démonstration analytique. La surface étant représenléc par l'équation

, ,. . , . ,, ds dz d- z

nous appelons suivant 1 usage /^ y, /•, ... les dérivées partielles -j— 1 -j- ■> -7—,^ • • • •

Nous désignons par n la tangente trigonomélrique de l'angle que fait avec l'axe des abscisses la projection de l'une des asymptotes de l'indicatrice au point considéré. On a

[a) tn'--h 2sn -i- r = o.

./•', 1', 3' étant les coordonnées variahles, l'asymptote est déterminée par les cqiialion-

p{x' — x) + q(y' ~ y) — (;'— -) = 0. Lr'—.v)— i(v'— r)=o,

dont la première représente le plan tangent.

MVIU; VIII. - COLUBIRE DES SrP.R\CES.

Oii reconnaît facilenifiil que l'équalion il'iiii plan passant par cette asymploio ile l'in- (licalrice est

/. étant une constante arbitraire; quanil elle est nulle, le jilan devient lanirenl.

L'équation {l>) représentera la courbe d'intersection de la surface par le plan qui cmilient l'asyniiitole de l'indicatrice, si l'on y considère;' comme une fonction de .r' et de v' donnée par ré(|ualion de la surface. Alors, différentiant deux fois l'équalion (b), nous aurons

{<]' — <J — -) -jTi "^ ^P' - P -^ /.) = o,

I, I il.v'

dx'

Lors(]ue l'on fait .r' , y' et ;' respectivement égales à r, r et z, -7-^ est égale à /', le

f/* )' second ternie de l'écpiation {d) disparaît en vertu de ré(|uation {a), et ~j-^ est nulle:

d-r' si cependant / est nulle, c'est-;i-dii-e si le plan est tangent, —7-2 se présente sous la

forme indéterminée -•

Pour avoii' dans ce cas la valeur de -7---)

dx -

laut dilïérentier l'équation (<:/) en v considérant cette quantité comme constante. On obtient , dv' \ d'-

'dY'\ I ,

Si mainleuant nous faisons x', y' et ;' égales à .r, y et z, les équations (c) et (e) nou< doniiertuit

dy'

dx'^

^ c«-^-H wn-

utn + ô "

En appelant p le rayon de courbure de la section de la surface par son plan lani;i'nl, cl en suppiisant que ce plan a été pris pour plan des xy, nous aurons

(1 + /(-)-(.<; -H tn')

- C/J-" -h H7(-H- Util -H ^ «

On a, en négligeant les termes à partir des infiniment petits du quatrième iinlri'

) dx

t [ dy\-

2 \ dx

\l.Z\dx

\^ H' ( dy\- ui i dy

CHAPITIU': I. — THÉORIE GKNERVUÎ. 29

p et 7 sont nulles paire que le plan tangent contient les axes des x et des y. Si nous donnons à -r- la valeur n m\\ détermine l'asvmptote considérée de l'indicatrice, le secoml dx

terme disparaîtra, dz sera la quantité (|ue nous avons appelée 3, et nous aurons

2 3 := ( - c«' -(- iivi- -r itin + o " ) '^'^■'•

L'équation (/) deviendra par suite

(\ + n"-)- (s ->^ tn)d.x'' ? = â '

ou bien

__ {dx^-^n^dx'^f-{s+tn) ^~ 2 p

Mais la quantité \ldx- -\- n- dx"- ou \Jdx- -t- dy'- est la longueur -j. : donc

Supposons maintenant que l'axe des abscisses touche la section principale dont le rayon est R,; nous aurons

ces valeurs portées dans l'équation (ff) donnent l'équation (24).

818. Nous avons vu ii l'arlicle 816 que toute section tangonle à une asyniptote de l'indicatrice a un contact du second ordre, au moins, avec cette droite, sauf dans le cas où son plan est tangent. Il résulte de là que quand une courbe tracée sur une surface a, en u/i point, un contact du premier ordre avec une des deux asymptotes de r indicatrice, son plan osculateur en ce point est tangent à la surface.

Cette proposition est la réciproque d'un théorème que nous avons établi à l'article 797.

819. Nous avons démontré, à l'article 474 (* ), que le rapport des rayons de courbure en deux points correspondants d'une ligne tracée sur une surface développable et de sa transformée par développement est égal au cosinus de l'angle (|ue forme le plan osculateur de la ligne avec le plan tangent à la surface, dette proposition est tine consé([uence du théorème de Meusnier.

Lorsqu'on développe une développable, les points d'une conrbe O tracée sur cette surface décrivent des trajectoires qui sont toujours normales au plan de

(') Dans la seconde édition de la deuxième Parlie, p. (ii. ligne 10. il faiiL lire : yr-, = cosN; ligne 1 >. il fail lire : cal c'gnl nn cnsinus. ( E. L.)

■^O I.IVIU: VIII. — COLRrU RE DES SURFACES.

(loveloppement, et qui forment une surface dont la section par un plan tangent il la (léveloppable est une transformée de la courbe primitive. La courbe iî et sa Iransforniée appartiennent donc à une même surface, et la seconde de ces lignes est une section normale qui touclie la première au point où elle rencontre la génératrice de contact du plan tangent avec la développable. On voit que le théorème de Meusnier peut être appliqué : il donne immédiatement la proposition que nous avons rappelée.

Définition des lignes de cuurlxirc et des lignes asyniptotiques .

820. Lorsque l'on passe d'un point d'une surface à un point infiniment voisin, les positions du plan tangent et des plans des sections principales varient infiniment peu; il en résulte que l'on peut tracer deux séries de courbes tangentes en chacun de leurs points à une des deux sections principales de la surface en ce point. Car, si, en partant d'un point 0, on considère sur une des sections princi- [)ales un point infiniment voisin 0', à ce dernier point passeront deux nouvelles sections principales, dont l'une fera un angle infiniment petit avec l'arc 00'; on peut suivre celle-là, y prendre un point 0" infiniment voisin de 0' et, continuant ainsi, on obtient une ligne qui satisfait à la condition énoncée.

On appelle lignes de courbure d'une surface les lignes qui sont tangentes en chacun de leurs points à l'une des sections principales. D'après ce que nous venons de voir, et les propriétés des sections principales, il passe à chaque point de la surface deux lignes de courbure qui se croisent à angle droit (').

De tous les points d'une surface infiniment voisins d'un point considéré, ceux qui appartiennent aux sections principales sont les seuls pour lesquels la déviation soit nulle. Il en résulte que les normcdes à une surface en tous les points d'une ligne de courbure forment une développable, et que le lieu de ces droites serait une surface gauche, si la courbe directrice n'était pas une ligne de courbure.

(>h. Dupin a considéré des lignes asyniptotiques tangentes en chacun de leurs points à l'une des deux asymptotes de l'indicatrice de la surface.

Ces lignes font mieux connaître la courbure de la surface que les lignes de courbure, car elles déterminent, outre la direction des' sections principales, le rapport des rayons principaux; mais elles ne sont réelles que sur les surfaces à courbures opposées.

(•) La llicoric des lignes de coiirburo est due à Monge. Mémoire sur les ilcbtais cl les rembhùs {Histoire de V Académie, I7**>); Application de l'Analyse à la Géométrie, XV el XVI.

ciivprrnp; t. — théorie génkrvle. 3i

Notions sur la courbure des sur/aces de révolution.

821. Los normales aune surlace de révolulion en deux points conséculils d'un méridien sont dans le plan de cette courbe; un méridien / (Jig. 336) est donc une section principale en l'un quelconque de ses points tel que 0', et son rayon de courbure O'E est l'nn des deux rayons de courbure principaux de la surface.

Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire au plan méridien, et par suite cette section est tangente au parallèle. Comme d'ailleurs la perpendiculaire O'C abaissée sur l'axe A'Z est le rayon du parallèle, on voit, d'après le

O'C théorème de Meusnier, que le rayon de la section normale tangente est^^^p^y^.

ou O'F.

En résumé, les deux rayons de courbure principaux d'une surface de nrohition. en un point, sont le rayon de la méridienne et le segment compris sur la normale entre le point considéré et l'axe (' ).

Quand la méridienne présente sa convexité à l'axe, les rayons O'E et O'Fsont de signes contraires, et par suite la surface esta courbures opposées. Lorsque la concavité de la méridienne est tournée vers l'axe, comme cela a lieu au point O'i, les rayons 0, F, et 0', E, sont de même signe, et la surface est convexe.

Aux points d'inflexion tels que 0^, et aux points tels que 0!, pour lesquels la normale est parallèle à l'axe de révolution, l'un des rayons de courbure est infini. Chacun des parallides décrits par les points 0!, et 0., sépare donc une partie delà surface où les indicatrices sont des ellipses, d'une partie où les indicatrices sont des hyperboles. Le théorème de l'article 805 pouvait faire prévoir ce résultat pour le parallèle du j)oint O3, car, en tous les points de ce cercle, la surface est tangente au plan qui le contient.

822. Nous allons maintenant déterminer les asymptotes de l'indicatrice an point (0, 0') [Jig. 336).

Nous considérons un hyperboloïde ayant un sommet en ce point, et y étant osculateur de la surface. Nous pouvons placer son centre en un point quelconque de la normale EF; nous choisissons le point F, et alors l'hyperboloïde est de révolution (art. 798) : le rayon du cercle de gorge est FO', et l'axe la droite F/ parallèle à la tangente O'K'. La longueur de l'axe non transverse Y f est le double de la droite O'K', movenne proportionnelle entre les rayons O'E et O'F (art. 79 i).

(') Ces résultats ont été donnés pour la première fois p:ir Meusnier. dans le Mémoire déjà cité à l'article 815.

■].2 r.nrtE vin. - courbure des surfaces.

Los asymptotes de l'hyperbole méridienne sont les droites FK' et FL'. On obtient l'indicatrice delà surface de révolution au point (0, 0'), en transportant |)arallè!ement à elle-même, dans le plan tangent L'K', l'hyperbole méridienne contenue dans le plan F/parallèle au plan tangent en 0'; par conséquent, si l'on mène parles points K' et L' des droites perpendiculaires au plan vertical, et avant une longueur égale à OF, leurs extrémités seront sur les asymptotes cherchées. Nous projetons K' en K,nous prenons les segments KU et KV égaux à OF : les asymptotes de l'indicatrice sont (OU, O'K') et (OV, O'K').

Ces droites, en tournant autour de l'axe (A, A'Z), engendrent un hyperboloide de révolution osculatcnr de la surface en tous les points du parallèle décrit par (0,0'). Mais cet hyperboloide n'a pas son centre sur la normale EF, et par suite il n'appartient pas à la série des hyperboloïdes osculateurs en un de leurs sommels.

825. Si le point (0, 0') parcourt la méridienne /, les asymptotes de l'indicatrice pour ses différentes positions formeront une surface gauche. Les arcs de la méridienne qui présentent leur convexité à l'axe seront utiles et doubles sur cette surface; les autres seront parasites. Les asymptotes de l'indicatrice se confondent au point d'inflexion 0., avec la tangente à la méridienne, et au point supérieur O'^ avec la tangente au parallèle : ces points seront des sommets de la surface gauche.

Chacune des deux nappes qui se coupent le long de l'arc 0!,0'., est tangente à la surface de révolution; ces nappes sont donc tangentes l'une à l'autre, et par suite la courbe / est, sur la surface gauche, une ligne double de contact.

La courbe d'intersection cp d'une surface de révolution par un plan BC tangent il la méridienne/, en un point d'inflexion (M, M') {Jig. 339), ■^ P"^"" tangente en ce point la droite BC que l'on doit regarder comme une asymptote unique de l'indicatrice. La courbe est d'ailleurs composée de deux parties symétriques par lapport à (.>l.\, IM'B), et par suite elle a un rebroussement de premier ordre.

Notions sur la courbure des surfaces gauches.

824. Toute surface gauche est à courbures opposées, car en chacun de ses points son plan tangent la coupe suivant une génératrice et une courbe (art. 617). La liénératrice et la tangente à la courbe d'intersection sont les deux asymptotes (le l'indicatrice (art. 797). Les bissectrices des angles de ces droites sont les traces des plans des sections principales sur le plan tangent. On peut, par consé- (|iient. construire les sections principales en un point donné et déterminer ensuite leurs rayons de courbure (art. 105). Nous avons vu que le rapport des grandeurs absolues de ces rayons est égal au carré de la tangente de la moitié

ciivriTiu-: I. - TiiKoniE cknkhvi.f:. 33

(le l'iiiii^le compris entre les asymptotes de l'imlicatrice (art. 796). Cette proposition permet de déterminer un des rayons quand on a obtenu l'autre.

823. Considérons deux génératrices G et C' d'une surface orauehe; nous savons qu'il existe un liyperholoide dans lequel ces droites sont des généiatrices d'un même système, et qui se raccorde avec la surface le long de l'une d'elles (i (art. 7il . Si l'on suppose que G' se rapproche de G et finisse par se confondre avec cette droite, l'iiyperholoïde deviendra osculateur le long de G; les génératrices du second système seront alors, avec la génératrice G, les asymptotes des indicatrices aux différents points de G; d'où ce théorème : les secondes asymptotes (1rs indicatrices d'une surface gauche, aux différents points d'une génératiice, forment un fty[)erJ)ohnde osculateur de la surface le long de cette génératrice.

Lors(|ue la génératrice considérée et les deux qui lui sont infiniment voisine^ sont parallèles à un même plan, l'hyperholoïde se transforme en un paraboloule. (]ette circonstance se présente toujours quand la surface a un plan directeur.

Si l'on connaît les secondes asymptotes des indicatrices en trois points d'une génératrice, l'hyperholoïde osculateur le long de cette droite sera déterminé, et l'on pourra construire la deuxièmeasymptote de l'indicatrice de l'un quelconque des points de la génératrice considérée fart. 1-i-i).

82G. Soient AX une génératrice d'une surface gauche {/ig. 'i'\o,, BX, la génératrice voisine et AB leur commune perpendiculaire. Par un point (|uelconque 0 de la génératrice AX, nous faisons passer un plan perpendieuhiire à AX et par conséquent normal à la surface; il coupe la génératrice BX, en un point N qui se projette en P sur le plan central de AX (art. (522 .

Le trièdre (XP, NB, NO) rectangle le long de XP donne

eotXO = cot BNP sin PNO.

Les droites XB et NO déterminent le plan tangent au point X intinimeiït voisin de 0; la déviation o au point X est l'angle que la normale XE perpendiculaire au |)lan BXO fait avec le plan PXO, ou le complément de l'angle que ces deux plans comprennent, et que nous avons désigné par XO dans la formule précédente. L'angle BXP est le complément de l'angle XBP ou n que forment les deux génératrices AX et BX,. Enfin l'angle PXO est le complément de l'oidiquilé XOP ou j du |)lan tangent en 0.

D'après ces remarques, l'équation ci-dessus devient

tangc? = tangTCOSÎ;

et, comme les angles i^ et n sont intiniment petits,

0 — 7 cos5.

m. — De la GuinNF.iiii;. — Descriptii c. ',

3| LIVnK VIII. — COL'RBURE DES SURFACES.

Le rayon Je combure de la génératrice élant infini, on a. en vertu de ré(jiiation (21J,

"" = -ïmï:-

On obtient par suite, en reinaniuant qu'on doit attribuer à a la grandeur ON

ou -.7

cosO

(7-cos'y =

Kl H2

Si nous appelons X- le paramètre de la génératrice (ai't. 625), OP sera égal à X-7, et nous aurons

(23) cos''S =

Nous avons d'ailleurs ^art. 622 \ en appelant ,r l'abscisse AO,

tang5= |.

L'él'Miiination de 5 entre ces deux équations donne

Il résulte des observations que nous avons présentées à l'article 776 que, quand on déforme une surface gauche sans en courber les génératrices, les points centraux ne sont pas déplacés, et les paramètres ne sont pas modifiés. On voit d'après cela, parla formule (jue nous venons d'obtenir, que quand on déforme une surface gauche, le produit des rayons de courbure pnncipaur en chaque point reste le même. Ce produit est infini quand la surface est développable (-).

(') Nous croyons que celte formule est due à M. Lamarle (Tfiéorie géométrique des centres et des axes instantanés de rotation). On en déduit par les procédés du Calcul intégral le résultat suivant signalé par Bour {Théorie de la déformation des surfaces) :

Si l'on élève en chaque point d'une génératrice d'une surface gaucho et dans un plan quelconque une ordonnée égale à l'inverse de la racine carrée du produit des rayons principaux prise positivement, on aura une courbe asymptotique do la génératrice (Jîg. 345), et dont la forme dépendra de la grandeur du paramètre A-; mais l'aire totale comprise entre la courbe et son asymptote est indépendante de li et égale à ît, de sorte que la courbe s'éloigne d'autant plus de la génératrice qu'elle est restée plus longtemps confondue avec elle. (La /?§■. 3(5 est extraite du Mémoire de Bour.)

(2) Gauss a établi d'une manière générale que, quand on déforme une surface flexible et inextensible, le produit des rayons de courbure principaux en chaque point reste le môme. Liouville a reproduit le Jlémoirc du célèbre géomètre, et des démonstrations spéciales du théorème duos h Puiseux et à M. J. Bi^rtrand, dans les notes de la 5' édition do VApplicatio/i de l'Anidyse de Monge. Dans son Expose' gcomctriiiuc, M. Lain.irle a établi le théorème par des considérations do Cinématique.

CIlVr-ITIiE I. — THEORIE GENEIULE.

827. Quand deux surfaces gauches S et S, se raccordent le long d'une droite (i, cette génératrice a le même paramètre et le même point central sur les deux surfaces (art. G'io ); par conséquent, et en vertu de l'équation ( 2G), en chacun de ses points, les produits des rayons de courbure des surfaces sont égaux.

Les hyperboloides A et A,, osculateurs des surfaces S et S, le long de la génératrice G, se coupent, en général, suivant deux droites P et Q qui rencontrent G en des points M et N (art. 753). Les indicatrices des surfaces ont les mêmes asymptotes en ces points, et par suite les rayons de courbure principaux y sont dans des rapports égaux; mais nous venons de voir qu'il y a égalité entre les produits de ces rayons : leurs grandeurs sont donc les mêmes, et les surfaces S et S, sont osculatrices aux points M et N.

Celui des hyperboloides qui est intérieur à l'autre d'un coté de la génératrice P devient extérieur de l'autre côté. Par conséquent, si l'on coupe les surfaces S et S, par des plans parallèles entre eux et à la droite P, les sections de l'une des surfaces, S par exemple, auront d'un côté du point M des rayons de courbure plus pelifs ([ue ceux des sections de S,, et de l'autre, plus grands. Les surfaces se coupent donc suivant une courbe tangente il cbaciue droite d'intersection des hyperboloides, seconde asymptote de l'indicatrice d'un point d'osculatiun.

Nous voyons ainsi que, quand deux surfaces gauches se raccordent le long d'une génératrice, elles se coupent, en général, suivant une courbe qui rencontre la droite de contact en deux points, et que les surfaces sont osculatrices en ces points.

Ligtics d'omhix' d'une surface gaitc/ie quarul le point lumineux est dans le plan tangent le long d'une génératrice singulière. — Rayons de courbure de la surface aux divers points de cette droite. •

828. Les questions que nous allons examiner ont de l'importance à plusieurs points do vue, principalement pour les exercices graphiques relatifs aux lignes d'ombre des surfaces gauches. Nous emploierons le Calcul dilïéreiiliel, qui nous paraît utile pour introduire dans celte élude la clarté désirable.

Nous avons vu dans le VIL Livre qu'une surface gauche peul avoir des génératrices singulières le long de chacune desquelles elle est touchée par un même plan. Deux génératrices conséculives se rencontrent alors en un point que nous avons appelé sommet (arl. 629). Toutes les lignes d'ombre de la surface passent à chaque sommet (art. (îSV).

Lorsque le poinl lumineux est dans le plan tangenl le long d'une génératrice singulière, cette droite fait partie de la ligne d'ombre : c'est la branche (pii passe au sommet. Lne autre branche, qui forme la courbe d'ombre proprement dite, rencontre les diverses génératrices (arl. 617), el iraverse nécessairement la droite suivant laquelle le plan louche la surface. Nous allons déterminer le point où elle coupe cette génératrice.

3(j l.nisi: Mil. — C.OtHlU liE IJES SLIîKACKS.

829. Nous représoiiloiis la géiiéralrko d'une surface gauche par les équalions

M, \, I' el O cUuil lies loiiclidiis il'uiie méine varialilc -/. Nous désignerons par M', N , ....

M", N", ... les dérivées premières el secondes de M, N

Le [lian rpii ]iasse par la génératrice considérée et par un point fixe («, 0, c) a pour

équaliiiii

(^a -f- O — c) (Mj: -f- P — J-) — (Ma + P — /;) (N j- -+- O — z) = o.

L'envelo|)pede ce i)lan, quand on fait varier oi, est le cône dont le soniniel est au point fixe et qui esl circonscrit à la surface. Les coordonnées du point de la génératrice où le plan touche la surface satisfont donc à la dérivée de son équation prise par rapjiorl à z :

(N'« -4- Q') (M j^ -+- P — ,v) 4- (N« -4- O — c) {U'j- -+- P') — (M'«H- P')iN*- + Q— ';)— (M,7-+- P — ^)(N'x+Q') —o.

En élimiiiaiil ,) et c cnlre cette équation et les équations (i), on obtient l'abscisse du ])oinl où le plan touche la surface, c'est-à-dire du point de la génératrice où passe la courbe d'ombre, quand le point fixe est lumineux,

__ P' (Nff + Q — c) — (Y {Ma + P — h)

^^' "^ ^ M'(Nrt + 0-c)-N (M^/ + P-/>)'

830. Nous appelons M,, N,, ..., ^1',, ... les valeurs que prennent M, N, ..., M', ... quand (jn donne à a une certaine valeur a,. Nous voulons que la génératrice qui correspond à ï, se confonde avec l'axe des abscisses, que le plan des .r )■ touche la surface le long de cetti" droile, el que l'origine des coordonnées soit le point de rencontre des deux génératrices consécutives. En vertu de la première condition, M,, N,, P, el Qi sont nulles. La génératrice infiniment voisine de celle qui coïncide avec l'axe des abscisses a poui- érpiations

r :^= M , X ch -+- P , r/z, ; ^= N', y d^ + Q', di..

Pour ipie cette droite soit dans le [ilandes .()■, il faut que N'i el Q'i soieni nulles. Enlin. Li troisième condition exige ([ue P'j soil égale à zéi'o. Nous avons donc

(3) Mi = o, N, = o, Pi — o, Q,= o, N'i = o, P', = o, 0', == o.

831. Quand le point limiineux {a, b, c) est dans le plan tangent le long de la gén('ratiice singulière qui est confondue avec l'axe des abscisses, c est nulle; ré([uation (2), qui détermine l'abscisse du point où la ligne d'ombre rencontre la génératrice (i), se réduit il

__ P'(Nff-t-Q) — Q'(Mfl + P — ^>) ■'' " ]\r(Nn -H Q ) — N' (M" + !• - l>) '

Si nous faisons a égale à a,, la valeur de x se présente sous une forme indéterminée mais, en prenant les dérivées du numérateur et du dénominateur, on obtient

Nous posons

(IIM'ITHE 1. - THÉORIE GÉNÉRALE. Sy

Si // ii'esl pas nulle, rL'qiiniicui i|iie nous avons trouvée ilonne

La longueur g est imlépenilantc des coordonnées a el //; |iar conséquent, quelle que soit la position du point Inniincux dans le plan tangent le long d'une génératrice sin- ::i(lière, mais non sur elle, la ligne d' ombre passe par un même point de celle droite.

Quand la génératrice infiniment voisine de 'celles qui se coupent est parallèle à leur plan, qui est ici le plan des œv, N', est nulle, et le point commun au\ lignes d'ombre que nous considérons s'éloigne à l'infini. Celle circonstance se présente toujours pour les génératrices singulières des sinfaces à plan directeur.

832. Le plan des ay rencontre les difîerentes génératrices, et par conséquent coupe l;i surface. 11 est intéressant de déterminer le point où la ligne d'intersection traveise l'axi' des abscisses.

Si l'on conserve les infiniment petits du deuxième ordre, la seconde équation de la génératrice infiniment voisine de celle que l'on considère sera

; = ^ N n- N'c/a -4- 1 N"f/a^] .r ^- (o -^ Q' f/a ^ ~ QV/a' j .

Quand a est égale à «,, cette équation devient, en vertu des. égalités (3),

« := - N! .V di- H — Q" d-x.-. ,

En supposant ^ nulle, on trouve pour l'abscisse la valeur g. Le point d'une génératricesingulière oit passent les lignes d'ombre, quand les points lumineux sont dans le plan langent le long de cette droite, est donc précisément celui qui ajqiartient à l'intersection de la sur/ace par ce plan tangent.

On pouvait prévoir ce résultat, car, stu- une surface gauche, une courbe d'ombre est le lieu des points où les différentes génératrices sont rencontrées par les intersections de la surface avec les plans qui contiennent respectivement ces droites et qui passent au point lumineux.

833. Nous avons vu (art. T61) que la surface du biais passé a den\ sommets, (I, O') et (J, 0') {/ig. 320). Les plans tangents le long des génératrices (L\, O'A') et (.JD, O'D' i qui passent à ces points sont verticaux. Leurs lignes d'intersection avec la surface n'ont pas été tracées sur la figure : ce sont des paraboles qui coupent respectivement les génératrices singulières aux points (R, II') el (S, S') (art. 771). Chacun de ces points esl donc celui par lequel passeraient toutes lignes d'ombre, si un point lumineux, occupait successivement difl'érenles positions dans le plan AC ou dans le plan BI). Nous savons, en effet, que les points (l{, IV) et (S, S) appartiennent à la ligne de contour apparent par rapport au plan horizontal (art. 739) : cette ligne est la courbe de contact d'un cône circonscrit dont le sommet situé à l'infini peut être indifféremment supposé dans le jilan AC ou dans le plan 151).

83i. Lorsque le point luiiiineu\''esl sui- la génératrice singulière ello-mème, on a

A =: o, c =; o, el ré(iualion (2) se réduit à

P'(Ng-t-Q)-Q'(Mff^P) "^ ~ M'(N«-t-Q) — N'(Ma-l-Pj'

X est indéterminée, quand on attribue à « la valeur a,. En prenant les dérivées des deux termes de la fraction, on trouve

__ P" (Na + Q) + P'(N'a + Q') — Q"(M« + P) — Q'(M'a-r P')

■^ " M"(Nrt + 0) + M'(N'rt + Q') — N" (Ma + P) - N'(M'« + P')'

L'introduction des valeurs (3) annule encore le numérateur et le dénominateur; mais, si l'on prend de nouveau les dérivées, et si l'on supprime les termes que l'iijpotiièse a = a, fait disparaître, au fur et à mesure qu'ils se présentent, on olMient après quelques réductions

— in; a -h q; '

d'où, en ayant égard à l'équation (4),

Soient EX la génératrice singulière {Jig. !\V2bis); S, G, 0 les points où elle est rencontrée par la génératrice voisine, par l'intersection du plan tangent avec la surface et par la ligne d'ombre; enfin, A le point lumineux. L'équation (6) donne