CHAPITRE I. - TIIÉOlilE GÉNÉRALE:. 3c
passe par le point 0 de celle droite, et que, quand le point lumineux est sur la génératrice elle-même, la courbe d'ombre la traverse en un point distinct de G. Il est intéressant d'étudier comment se fait la transition entre ces deux, formes.
Supposons d'abord que la surface ait un plan directeur : le point G esta l'infini (art. 831). Lorscjue le (loinl lumineux se rapproche de la génératrice singulière, les deux bras qui s'étendent à l'infini se resserrent contre cette droite; à la limite ils se réunissent à elle, et la ligne d'ombre comprend une seconde fois la génératrice singulière. On conçoit facileineal que la partie ([ui reste courbe peut traverser la génératrice ailleurs qu';< l'infini.
Quand la surface gauche n'a pas de plan directeur, le plan tangent le long d'une génératrice singidière telle (jue EX (Ji^'. ^2-2 bis) est tangent à l'infini; il touche donc la développahle asymptote (art. 639). On reconnaît, en considérant le mode de génération de la développahle, que la ligne de contact est précisément la génératrice EX. Nous donnerons d'ailleurs une démonstration analytique de ce théorème à l'articb' suivant.
Si le point lumineux est dans le plan tangent le long de la génératrice singulière EX, et peu éloigné d'elle, on pourra mener par ce point un second plan langent à la développahle asymptote, et par suite la courbe d'ombre a une branche infinie corrcspondaiii à une génératrice voisine de la génératrice singulière EX (ait. 7V7). Lorsque le poini lunjineux supposé mobile arrive sur cette dernière droite, les deux bras de la branche infinie se réunissent à elle, et l'on retrouve les mêmes circonstances que quand la surface a un plan directeur.
Nous voyons qn une génératrice recliligne appartient Jeux fois à la courbe d'ombre, quand elle contient le point lumineux, et quand un même plan est tangent à la surface en tous ses points.
836. Proposons-nous de déterminer la génératrice de la développahle asymptote qui est parallèle à la génératrice représentée par les équations (i).
m étant un coefficient arbitraire, l'équation d'un plan contenant la génératrice (i) est
( V — Mx — P)— m{z — ^x—Q) = o.
Pour que ce plan soit tangent à l'infini, il faut qu'il soit parallèle à la génératiice infiniment voisine de celle que nous considérons. Les équations de celte génératrice sont
j = (M + M'd7i)x + (P 4- P' d^), z=('S -hN'c?ï)x-+-(Q + QV/ï).
La condition du parallélisme donne
L'équation du plan passant par la génératrice considérée et tangent à l'infini est par suite
(g) N'-(j-M.r-P)-M'(--Nx-Q) = o.
La génératrice de la développahle est l'intersection de ce plan parle plan que représente la dérivée de l'équation précédente prise par rapport à y.. On trouve, pour cette dérivée, après quelques réductions,
Siniainienanl nous supposons a égale à x,, nous trouvons, en introduisant les valeurs (3)
(Inns les équations (9) et (10),
(iii liien
l.;i première de ces équations, qui représente le plan langent à la développable asymptote, montre que ce plan est celui qui touche la surface gauche le long de la génératrice EX, comme nous le savions déjà; on voit par la seconde que la génératiice E\ appartient à la développable. Ainsi, quand une surface i^auche a un sommet à distance linie. elle est touchée par sa développable asymptote tout le long de la génératrice ijui passe à ce point.
Si cependant la génératrice iiiliiiimcnl voisine de celles qui se rencontrent est parallèle à leur plan, N', est nulle, et la seconde équation ne fait plus connaître la position que la génératrice de la développable occupe dans le plan tangent. Pour déterminer cette droite, il faudrait d'abord éliminer :: entre les équations (9) et (10), puis cbercbor par les procédés ordinaires les valeurs des grandeurs indéterminées que les hypothèses (3) introduisent dans la formule. Nous croyons peu utile de nous arrêter à ces détails, et nous nous bornons à rappeler que, quand la surface a un plan directeur, la développable asymlote disparaît tout entière à l'infini (art. 6U).
837. Rayotis de courbure d'une surface gauche aux différents points d'une génératrice singulière. — Nous allons maintenant chercher la grandeur du rayon de courbure de la section faite dans la surface gauche par un plan perpendiculaire à la génératrice singulière. Si nous ditïérentions les équations (i) en y considérant l'abscisse -r comme constante, et les deux autres coordonnées comme fonctions de a, nous aurons
fl'r = (M'a; + P')f/=<, rf; = (N',r +0')f/a, d-y = (M"x -1- P")doL\ d-z = (N"j~ -H Q")d^\
Ku introduisant ces valeurs dans l'expression géiyjrale du rayon de courbure
idy--i-dz-f
iiii njjtient
dvd- z — dzd'- y'
[(M'x-hP')= + (]\'.r + Q')=f
(M'x -h P') (N"^ -^ Q") - (iN'a- + ^){l\"x -K P") Lorsque x est égale à x,, en vertu des égalités (3), l'équation (1 1) se réduit à
iNiX-i-Qi On peut la mettre sous la forme
' l'i K sont l'abscisse et l'ordonnée, parallèle à l'axe des ;, du centre de courbure de la section considérée. L'équation que nous venons d'obtenir montre que les centres de
