CHAPITRE I. TlIKOlilE GÉNÉRALE

courbure des sections faites dans une sur/ace gauche par des plans perpendiculaires à une génératrice singulière ont pour lieu une hrperbole.

L'une des asymptotes GH (fig. 422 bis) passe par le point G que nous avons défini précédemment (art. 83i);ellc est perpendiculaire à la frénératrice E\. L'autre asymptote El rencontre cette droite à une distance du sommet S égale à S(i ; son coel"ficienl angulaire M'* ' ^^^ "N^' ^^ co""'1j<' <^sl taniicnte à la génératrice au i)oinl S; nous savons que la section

qui passe à ce pcjint a un rebroussement (art. 66G).

838. La génératrice singulière est, en chacun de ses points, une section principale de la surface; la seconde section principale est la courbe qui a pour rayon R. Au point G ce rayon est infini, comme le premier rayon de courbure; la surface y est donc osculée par tm plan. Ainsi, le plan tangent à une surface gauche le long d'une génératrice singulière est osculateur au point où se rencontrent les lignes suiçant lesquelles il coupe et il touche la surface. L'hyperbole A montre (|u'uii second point d'osculation se trouve en général à l'infini.

839. Si dans ré(iuation (i3) nous remplaçons g par sa valeur (4), nous aurons

Ouarid la génératrice infiiiimenl voisine de celles qui se rencontrent est parallèle à leur plan, iN'i est nulle, l'équation perd son second terme, et la courbe qu'elle représente devient une parabole.

Il est facile de ^éri^er ce résultat sur le conoïde droit. Si la section perpendiculaire à la génératrice est une ellipse a^ant un de ses sommets sur celte droite, et telle ([ue l'axe qui aboutit à ce sommet soit parallèle à la directrice rectiligne, cet axe aura une longueur constante {2/>), tandis que la longueur de l'autre axe sera proportionnelle à l'abscisse du plan de la courbe {inx). Le rayon de courbure ( — •^•'j sera donc proportionnel au carré de l'abscisse.

840. Le point G peut occuper toutes les positions sur la génératrice; quand il coïncide avec le sommet S, g est nulle, et l'équation ( i3) représente deux droites qui se croisent à l'origine, l'une oblique, l'autre perpendiculaire à l'axe des abscisses. Les centres de toutes les sections perpendiculaires à la génératrice ont pour lieu l'une de ces droites, la première. Il résulte de là que la surface peut être osculée par des cônes le long de la génératrice. Ce cas est celui des développahles (art. iol ). Le plan tangent le long de la génératrice doit donc être osculateur en S, et par suite il se confond avec le plan derebroussement. Ces deux plans sont ordinairement distincts, comme on le voit par l'exemple du conoïde de la fig. 299 (art. 606)

La seconde droite déterminée par l'équation (i3), quand g est nulle, doiuie ime inliniir de centres de courbure pour la section qui a un rebroussement. Ce résultat en apparence paradoxal peut être assez facilement expliqué. .Vous avons vu (art. kki) que toute droite située dans le plan d'une courbe plane et passant à un point de rebroussement peut être (considérée comme tangente. On peut de même regarder comme tangent tout cercle tracé dans le plan de la courbe et passant par le point de rebroussement. Si, de plus, un cercle louche la tangente de rebroussement, on pourra le considérer comme ayant avec la courbe trois points communs réunis en un seul.

(.ette explication résulte directement de l'examen des circonstances géoméiiiqiio de la question. Quand le segment SG devient nul {fig. 42?. bis), une infinité de cercles o>cu-

"I- — De la GoiBNERiE. — Descri/xit'e. G

42 l.IVliK VIII. — COLUBURE DES SUIîrACES.

lateurs à des seclions (lifféi'entes devicmu'Ul taiigonls entre eux el à la langente de l'cbroussemeiit de la section f|iii passe par le point S.

Dans le cas général, lors(Hie g n'est pas nulle, Thypei'bole A ne doiuio pour la section qui contient le point S d'autre centre de courijure que ce point lui-même; mais il faut remarquer que nous avons fait disparaître de l'équation (12) le facteur. r qui était commun aux deux termes de la fraction, et que cette équation donne en réalité une longueur indéterminée au rayon de courbure de la section dont l'abscisse est nulle. Le lieu complet des centres de courbure des secondes sections principales le long de la génératrice singulière se compose donc de l'hyperbole A et de la jierpendiculaire au plan de rebroussement menée par le sommet S.

811. Rayons de courbure d'une surface gauche le long d'une arcle. — Nous allons maintenant supposer que la génératrice singulière est une arête (art. 635). Nous plaçons l'origine en un point quelconque de cette droite, qui sera comme précédemment l'axe des abscisses; le plan tangent à la surface est pris pour plan des xy.

La génératrice infiniment voisine de l'arête est parallèle à cette droite, par suite M', (>st nulle et P', ne l'est pas. Les conditions exprimées par les égalités (3) deviennent donc

(i4) M,=:o, N, = o, P| = 0, 0,=zo, M'i = o, j\'j^=o, Q', =z o.

L'équation (i i) donne alors

d'où

On voit que l'hyperbole, lieu des centres de courbure des secondes sections principales, est équilatère ; l'arête GX est une de ses asymptotes {fig- 420 his), son centre se trouve au point d'osculation G qui devient un point central pour les courbures. Enfin, le rayon de courbure de la section principale au point situé à l'infini est nul; on peut facilement vérifier ce résultat, dans le cas du conoïde droit, par un raisonnement analogue à celui de l'article 839.

Quand le point lumineux A est sur l'arête GX, le point 0 de la courbe d'ombre est le milieu du segment AG, car, le point S étant à l'infini, le rapport de SA à SG est égal à l'unité, et l'équation (8) montre que OA el OG sont égales et de signes contraires.

81-2. Quand le paramètre d'une arête a une longuciu- finie, le plan tangent le long tle cette génératrice est perpendiculaire à son plan central (art. 677). D'après cela, si nous considérons trois génératrices consécutives dont les deux premières soient parallèles et horizontales, la commune perpendiculaire à la seconde et à la troisième devra être verticale, pour qu'à la limite les trois droites se réunissent de manière à former une arête du genre de celle que nous considérons. La troisième génératrice est donc horizontale comme les deux autres, et par suite nous devons ajouter aux égalités (i4) la condition

N", = o; l'équation (i5) donne alors

ciivi'iTRi-: I. - THKoiui-: (;i;\Éi'.vLE. 43

On voit que le r:ivoii rie coiii'biiro do la seconde section principale est constant; d'où il résulte que, lorsfia une surface gauche possrde une arête ayant un paranictrc /i/ii, elle est osciilée par un cylindre le long de cette droite.

8'i3. On peut facilement véiilier, i)our le cxlindroïde de la fig. 298, le lliéorème que nous venons de dénionti'er.

Le plan vertical OM coupe la surface suivant une ellipse dont les axes sont respecti\e-

Mienl ésaux à rrrrr et à «' %' (art. 630). Le lavon de courbure de cette ellipse au soni-

" cosMOI 1 V y . i

met (M, M'), qui appartient à i"arète («A, «'.V'), est donc

^-z-cosMOL al

dette section est obiii|ne; la section normale (|ui lui est tangente se trouve dans un jdan \ erlical parallèle à LJ. D'après le théorème <le Meusnier, son rayon de courbure déduit du

Fâ'"

])récédenl est — p- On voit qu'il ne dépend pas de la position du point (M, M') sur

l'arête (A«, A' a'), et que par suite, en tous les points de cette droite, les rayons de courbure des sections faites par des plans verticaux parallèles à IJ sont les mêmes : la surface est donc osculée par un cylindre le long de l'arête.

On trouve, par le théorème d'Euler, que le rayon de courbure de la seconde section princiiiale, en l'un quelconque des [)oints de l'arête considérée, est

^-sin^'/I'A'.

al

8ii. Construction de l'hyperbole liejti des centres de courbure aux divers points d'une génératrice singulière. — Lorsque l'on connaît sur une génératrice singulière le sommet cl le point où la surface est osculée par un plan, il suffit d'obtenir le rayon de courbure de la seconde section principale en un point, pour qu'on puisse construire l'hyperbole ^ lieu des centres de courbure. Or il sera toujours possible de faire cette détermination h l'aide des directrices.

Si l'on considère la génératrice singulière (BD, B'D') (/ig. Sao), nous savons que le sommet est (J, 0') et le point d'osculation (S, S'). La directrice circulairc(CI), Cl)') est tangente en (D, D') à la seconde section principale; on obtiendra donc immétiiatement le rayon de courbure de cette section, par les tracés auxquels conduit le théorème de Meusnier. On pourra ensuite construire rhy|)erbo!e.

Dans le cas d'une arête, il suffit de connaître le point où la surface est osculée par un plan el le rayon de courbure de la seconde section principale en un point. S'il s'agit de l'arête {p<j, p'^jf') ij'g- 32o), le point d'osculation est son intersection (0,0') avec la directrice rectiligne. On obtient d'ailleurs le rayon de courbure de la seconde section principale pour le point (</, </'), par une construction inverse de celle qui est expliquée à l'article 800, en remarciuant que la directrice circulaire est la section par un plan normal dont on peut aisément déterminer les angles avec les plans principaux.

Surfaces gauches lieux de normales à une surface.

84-5. Avant d'étudier les surfaces qui font l'objet de ce paragraplie, nous allons faire connaître une construction très sini|de, qui nous sera fort utile, pour déterminer le point central et le paramètre de distribution d'une génératrice d'une surface gauche, lorsque les plans tangents à la surface en trois points de cette droite sont donnés (' ).

Par le point central A d'une génératrice DX {Jig. ^i'\ bis) et dans un plan quelconque, nous élevons à cette droite une perpendiculaire AA' égale au paramètre de distribution k; en joignant le point A' à un point (juelconque B de la génératrice, nous aurons

tangAA'B=^-

L'angle AA'B est donc égal à celui que le plan tangent en B fait avec le plan central (^). L'angle BAC, différence des deux angles AA'C et AA'B, est par conséquent égal à celui que comprennent les plans tangents aux deux points B et C.

Si l'on élève à une génératrice d'une surface gauche et par son point central une perpendiculaire égale au paramétre de distribution, l'angle sous lequel on voit de l'extrémité de cette droite un segment quelconque de la génératrice est égal à l'angle que comprennent les plans tangents à la surface aux deux extrémités du segment.

Quand on connaît les plans tangents en trois points 0, B et C, on obtient le point A' en décrivant sur les longueurs OB et OC des segments capables des angles que forment les plans tangents en B et en C avec le plan tangent en 0. La perpendiculaire A'A donne ensuite le paramètre k et le point central A.

846. Nous joignons le point A' à un point quelconque 0 de la génératrice, nous traçons la droite A'P perpendiculaire à OA' et les droites OY, BB' et CC perpendiculaires à OX; le quadrilatère OA'B'B a ses sommets sur un cercle, car les angles opposés A' et B sont droits. Les angles A' OB' et AA'B, ayant pour mesure la moitié des segments interceptés dans ce cercle par les parallèles AA' et BB', sont égaux; les angles A'OC et AA'C sont aussi égaux; par suite, il y a égalité entre les angles B'OC etBA'C, sous lesquels on voit des points 0 et A' un segment quelconque BC de la droite PQ, et sa projection BC sur la génératrice.

C) CcUc construelion et son application aux surfaces lieux de normales sont dues à M. Mannlieim (voir dans le journal l'instiiiu les séances de la Société philomatliique des 2, 23 avril et 7 mai 1864 ). Nous avons ajouté la détermination du produit des rayons de courbure (art. 847), la construction du paramètre de déviation (art. 831). et diverses considérations peu importantes.

(2) Nous avons déjà établi cette proposition à l'article 626.