APPLICATIONS DIVERSES

Constniction des rayons de courbure et des plans oscillateurs d'une courbe donnée par ses projections.

8o9. Cas où la tangente à la courbe au point considéré est parallèle à la ligne de terre. — Soient oj et w' les projections de la courbe {fîg. 34 1); (0, 0') un point de cette ligne où la tangente est parallèle à la ligne de terre XY; A et B les centres de courbure des projections w et o/.

Nous prenons un second plan vertical xy perpendiculaire à XY, et nous y |)laçons la projection o du point (0, 0').

Les sections faites dans les cylindres projetants par les plans normaux contenant la tangente à la courbe au point (0,0') sont identiques à w et w'; leurs centres de courbure sont a et b sur le plan xv.

D'après le théorème de Meusnier, le centre de courbure de la courbe en (0, 0') est la projection, sur son plan osculateur, de chacun des points a et è ; la droite ab est donc une projetante sur ce plan, et par suite, en lui abaissant une perpendiculaire du point o, on obtient la trace oN du plan osculateur. Le point c, projection des points a et b, est le centre de courbure de (w, oj'). La longueur du rayon de courbure est oc.

5o TJVP.K VIII. - COLHIU'IiE IiKS SllUACES.

8G0. ( 'as où ht /a/iife/i/c à la courbe au point co/isidèré ( 0, 0' ) est parallèle à l'ii/i (les deux plans de projection seulement, celui qui est horizontal, par exemple. Nous déterminons les centres de courbure A et B des projections u et 0/ [fi^. 342); nous prenons un second plan vertical j-y perpendiculaii'c à la taniçente à la courbe gauclic au point (0, ()'), nous y plaçons la projcniion o de ce point, et le centre de courbure a de la section faite dans le cylindre vertical oj par un plan normal à cette surface et tangent à la courbe. Au point (0,0), le plan vertical OV est normal au cylindre projetant w'; lorsque nous aurons déterminé le rayon de courbure de la section qu'il contient, le problème sera ramené à celui que nous avons résolu à l'article précédent.

Les deux sections principales du cylindre horizontal au point (0, 0') sont la cénératrice et la section droite contenue dans le plan OX, (art. 801). Le ravon de courbure de la première est infini, celui de la seconde est O'B.Nous trouvons la longueur OB3 du rayon de courbure de la section contenue dans le plan OV, par la construction expliquée à la fin de l'article 800; nous portons la longueur OB1 en eZ>3, et nous achevons les tracés sans difTiculté.

861. Cas général. — Lorsque la tangente à la courbe au point considéré (0, 0') [fig. 343) a une position quelconque par rapport au plan de projection, il faut d'abord déterminer les rayons de courbure des sections faites dans les cylindres projetants, par des plans normaux contenant la tangente (0>1, O'M').

Nous rabattons sur le plan horizontal le plan (]\Dr,M'0') qui touche le c\lindre horizontal au point (0,0'); ce point se place en O,, et par suite les tangentes à la section dioite et à la courbe ( w, u') sont rabattues sur les droites 0,G et 0|M. En prenant une longueur 0,B, égale au rayon de courbure O'B (le ùV, et traçant les droites \^^\^2 "'tBoBj respectivement perpendiculaires à 0,^1 et à 0,0, nous obtenons le rayon de courbure O.B^ de la section normale tangente à la courbe (co, 0/).

Le plan tangent au cylindre vertical étant rabattu autour de sa trace OM, le point (0, 0') se place en un point O,, facile à déterminer, et les rabattements des tangentes à la section droite et à la courbe (lo, 10') sont la droite O^k, parallèle à ftlO, et la droite OjM. Nous connaissons d'ailleurs le rayon de courbure OA de la section droite, nous pouvons donc déterminer la longueur O2A3 du rayon de courbure de la section normale tangente à la courbe (co, o/).

Faisons maintenant passer par le point (0, 0') un plan perpendiculaire à la tangente (OM,0'M'), et rabattons-le sur le plan horizontal. La trace horizontale de ce plan est une droite xy parallèle à OA, et passant au point P déterminé par la droite O2P perpendiculaire au rabattement MO^ de la tangente. Dans le rabattement du plan, le point (0, 0) se place en o ii une distance de P égale à POo.

Les normales aux deux cylindres sont dans ce plan : l'une (OQ, O'Q') a sa trace horizontale au point Q, et est rabattue sur la droite Qo; l'autre étant hori-

r.iiAi'nr.iî ii. - applications diverses. aj

zontale, son rabattement est la droite oa^ parallèle à j:;v'. Nous portons sur ces normales des longueurs o/;., et oa.^ respectivement égales aux rayons de courhure 0,63 etO^Aa, et nous achevons la construction comme précédemment. Le rayon de courbure de la courbe (to, w') au point (0, 0'; est égal à oc; la trace ho-' rizontale du plan osculaleur passe par les points N et M (' ).

862. Considérations générales . — Nous avons exposé en détailla construction à laquelle les théorèmes d'Euler et de Meusnier conduisent pour la détermination du plan oscillateur en un point d'une courbe donnée par ses projections. On doit recourir à cette solution quand on peut déterminer d'une manière précise les rayons de courbure des projections. Dans le cas contraire, il convient de préférer les tracés que nous avons fait connaître à l'article 448.

On obtient, par des procédés analogues, le rayon de courbure et le plan osculaleur en un point donné de la courbe d'inteisection de deux surfaces quelconques, lorsque l'on connaît leurs sections principales en ce point, et leurs ravons de courbure; mais la construction du rayon de chaque section normale tangente à l'intersection exige des constructions plus laborieuses.

863. Quand la projection 0/ est une droite [fig. 343), le cylindre horizontal est un plan; le rayon ob.^ devient par suite infini, et la droite a^b^ est parallèle à oQ. Si, de plus, on suppose que la projection to soit un cercle, la construction donnera le rayon de courbure d'une ellipse en un point quelconque. En traduisant analytiqiicment les tracés, on obtient une expression du rayon de courbure applicable à l'hyperbole comme à l'ellipse.- Nous ne nous arrêterons pas à cette question; nous remarquerons seulement qu'aux extrémités du grand axe, l'ellipse est tangente à une section droite du cylindre, et que par suite le théorème de Meusnier donne immédiatement pour le rayon de courbure l'expression que nous avons trouvée à l'article 779. Aux extrémités du petit axe, le plan de l'ellipse est normal au cylindre, et l'on obtient directement le rayon de courbure par le théorème d'Euler.

('; Appelons/- et r' les rayons de courbure en o et en o' des sections droites w el w': K et If ceux des sections normales tangentes; 0 le rayon de courbure cherché; x et a.'. S et S' les angles quo forment avec les plans de projection le plan osculatour et la tangente 0.\l en 0 à la courbe; 7 = fo«3 et 7 = cob-i les angles du plan osculateur et des sections normales tangentes; 9 = <(iobi l'angle des normales OP et OQ enO aux cylindres projetant la courbe.

Le triangle «soi, donne l'équation 0 \/iV--h R'^— 2RR' cosô = RlVsinO, qui. en \eriu des relations ;■ = R cos-^, /= R' cos^f^', fournit la valeur de p en fonction de r, /■', p, S'. 9.

Comme 0 = RCOS7, el comme le trièdre formé par le plan osculateur, le plan .MOP cl le plan horizontal passant par 0, donne cosx = cosp COS7. on a, pour trouver se, 0 cos'S = r cosz. On obtient z' au moyen d'une équation analogue.

Enfin, la dernière égalité peut servir à trouver les rayons de courbure d'une courbe plane, connaissant une projection de cette courbe, l'angle que son plan fait avec le plan de projection, et les angles que ses tangentes forment avec ce plan. 1 1'^- !>• )•

Construction des sommets d'une surface d'égale pente.

864. Nous savons que la protection de l'un des sommets d'une surface d'égale pente sur un plan horizontal quelconque est le centre de courbure de la section de la surface par ce plan pour le point correspondant (art. dIO). On peut, par conséquent, déterminer un sommet, quand on connaît la génératrice qui y passe et le rayon de courbure de la directrice horizontale au point correspondant.

Considérons la surface d'égale pente représentée sur les //:,'■. 274 et 275, et proposons-nous de déterminer la position précise des sommets qui doivent se trouver sur les génératrices (BC, B'C) et (BD.B'D').

Nous pouvons déterminer sur A'B' le centre de courbure de l'ellipse directrice ( AB, A'B') pour le point B', et élevant en ce point une perpendiculaire FF' à A'B', nous avons une droite sur laquelle sont les centres de courbure des sections normales faites dans les deux nappes de la développable, par un plan contenant la tangente à l'ellipse (AB, A'B') au point (B, B') (art. 839).

La génératrice (BD, B'D') est, sur la nappe à laquelle elle appartient, une seclion principale pour le point B'. Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la droite B'D', et par suite sa trace verticale est la droite B'F perpendiculaire à B'D'. Le point F où elle rencontre la droite FF' est donc le centre de courbure de la seconde section principale. La projection du point F sur le plan horizontal du point B' serait la projection du sommet cherché J' sur le même plan, et en conséquence les points F et J' sont sur une verticale. De même, si l'on trace B'F' perpendiculaire à B'C, la verticale du point F' passera par le sommet/.

Pour la construction que nous venons d'exposer, il a suffi d'appliquer le théorème de Meusnier, parce que la tangente à la directrice au point B' est horizontale, et que par suite cette courbe est tangente à la section principale et à la section horizontale. Quand la tangente à la directrice au point où elle est rencontrée par la génératrice qui passe au sommet n'est pas horizontale, on doit appliquer successivement les théorèmes d'Euler et de Meusnier, et par suite la construction est plus compliquée.

Détermination des tamrentes à la courbe d'intersection de deux surfaces qui se touchent.

865. Supposons que deux surfaces A et B se touchent en un point 0; considérons deux surfaces du second degré A' et B' qui leur soient respectivement osculatrices en ce point, et qui aient leur centre en un même point de la normale; enfin, appelons a et jS [fig. 344) les sections de ces surfaces par. le plan diamé-

ClIVPITItlî II. - APPLia4TI0NS DIVERSES. 00

(rai parallèle au plan tangent en 0 : les coniques concentriques « et /5 se coupent généralement en quatre points E, G, F et H.

Les surfaces A' et B' sont tangentes au point 0, et à un autre point diamétralement opposé; leur intersection se compose donc de deux courbes planes auxquelles les points E, G, F et H appartiennent deux à deux (art. 252 . Les traces des plans de ces lignes sur le plan des coniques « et p sont les droites EF et GH.

Le plan passant par le point 0 et par la droite diamétrale VV, coupe les surfaces A et B suivant des lignes dont les rayons de courbure sont proportionnels aux carrés des rayons vecteurs CL et CK; la section faite dans la surface A louche donc extérieurement la section de la surface B. Le contraire a lieu pour les sections par le |)lan rc,. Enfin, celles (jui se trouvent contenues dans le plan EFsont osculatrices; ces surfaces ont donc dans le plan EF un point commun infiniment voisin de leur point de contact 0, et par suite elles se coupent suivant une ligne dont la tangente au point 0 est parallèle à EF. On trouve, par des raisonnements analogues, que leur intersection a une seconde branche dont la tangente est parallèle à GH.

Si l'on suppose que les coniques a et |3 soient transportées parallèlement à elles-mêmes, de manière que leur centre C arrive au point de contact 0, elles seront des indicatrices correspondant à une même valeur de la constante arbitraire c (art. 794 et 793), et les deux branches de la courbe d'intersection auront pour tangentes les diamètres communs EF et GH (' ).

Quand les indicatrices a et jS se coupent en deux points seulement, ce qui arrive lorsque ce sont des hyperboles ayant leurs asymptotes croisées (art. 502), l'intersection n'a qu'une branche dont la concavité soit tournée vers le point pris pour centre des surfaces osculatrices; mais, si l'on place le centre de ces surfaces de l'autre côté du plan tangent, on trouve pour les courbes a et [■!> deux hyperboles supplémentaires des premières, et qui déterminent par leurs points de rencontre la tangente à une seconde branche de l'intersection ayant sa concavité tournée vers le centre des nouvelles surfaces.

Dans le cas où les indicatrices se touchent, le diamètre passant par leurs points de contact est tangent à des sections normales surosculatrices; les surfaces, d'ailleurs, ne se coupent pas. Enfin, si les indicatrices ne se rencontrent pas, les surfaces n'ont en commun que leur point de contact 0.

Quand la surface B est un plan, son indicatrice [j correspondant à une valeur finie du paramètre c a des axes infinis, et par suite tous ses points sont à Finfini. Les diamètres communs aux courbes a et /3 sont alors les asymptotes de a; ces droites sont donc tangentes aux deux branches de la courbe d'intersection, ce qui est conl'orme aux résultats de l'article 797.

(') Colle conslriiction a tic donnée par Tli. ()li\ier ( Joiirnu! de r Ecole l'ohlcclinùiiir, WV Caliicr. )

56 LIVIU; VHI. — COlliBl'RE DES SURFACES.

■ 8GG. Epure du conoïde de la roule d' arêtes en tour ronde. — Nous allons appli- (|iuM' la construction que nous venons d'exposer à la détermination des tangentes au point double de la courbe d'intersection du loreet du conoïde droit représentés sur lay?g". 3or. Nous renvoyons à l'article 071 pour la i^énération de ces surfaces.

Les normales du conoïde en tous les points de la génératrice OV sont dans un même plan; cette droite est donc une section principale en cbacun de ses points. La seconde section principale pour le point double V est dans le plan vertical AB.

Si nous appelons R, le l'ayon de courbure de l'ellipse A'B' au point V, lorsque cette courbe sera enroulée sur le cylindre vertical ab, son rayon de courbure en V sera RiCosa (art. 474 et 819), u étant l'angle de son plan osculateur avec le plan AB. Pour avoir le rayon de courbure en Y de la section principale AB, il faut, d'aprî's le tliéorèiiie de ^Meusnier, diviser le rayon de l'ellipse enroulée par ces 7: on trouve le rayon R,.

L'indicatrice se compose de deux droites parallèles à la section principale OY qui a un rayon infini (art. 800), et si l'on appelle a leur distance au point Y. on aura

Y" H' rt= = R|C, ou ff^ = „■ , c.

L'une des sections principales du tore pour le point Y est la méridienne con-

Pc'

tenue dans le plan OY; son rayon est^^; l'autre section principale est contenue

dans le plan AB et a un rayon infini fart. 821). L'indicatrice se compose donc de deux droites j)arallèles à AB. En appelant h la distance de chacune d'elles au point Y, on a

La longueur c est arbitraire, mais elle doit être la même pour les deux indicatrices. Si nous la faisons égale à la hauteur du point Y au-dessus du plan horizontal, les expressions ci-dessus deviendront

rt = Y"B', /> = Pc.

On peut donc prendre simultanément pour indicatrices du conoïde et du tore au point Y les droites AA' et BB' d'une part, et de l'autre la droite U// et une autre droite pai'allèleà celle-ci et également distante du point Y. On voit que la tangente en Y il la branche EF passe par le point de rencontre u; on déterminerait (Ida même manière la tangente à l'autre branche.