CHAPITRE II. — APPLICATIONS DIVEP.SKS

867. Cas OÙ /es surfaces tangentes sont des canes OU des cvfindres. — Quand les lieux surfaces tangentes sont des cônes ou des cylindres, chaque indicatrice est composée de deux lignes droites, comme dans le cas que nous venons d'examiner, et l'on peut déterminer facilement les tangentes à l'intersection au point double, lorsque l'on coiinait, [)0ur chaque surface, le rayon de la section faite par un plan perpendiculaire à la génératrice.

Il faut remarquer que toutes les fois (|ue deux surfaces se touchent, les deux branches de leur intersection sont tangentes aux courbes suivant lesquelles se coupent deux surfaces qui leur sont respectivement osculatrices. Si nous avons choisi deux surfaces du second ordre ayant leur centre en un même point de la normale commune, c'est parce que leur intersection se compose de deux lignes planes, mais dans quelques circonstances on peut préférer d'autres dispositions.

On a souvent, pour des questions d'ombre, à considérer deux cônes ayant une directrice commune : leur intersection comprend une seconde courbe qui croise la directrice en des points où les surfaces se touchent ; on détermine ces points en menant à un des cônes des plans tangents par le sommet de l'autre. Quand la directrice est une conique, les surfaces sont du second ordre et leur deuxième intersection est plane comme la pi'emière (art. 232).

Dans le cas général, en remplaçant la directrice par son cercle osculateur aii point de contact considéré, on obtient deux cônes du second ordre osculateurs des premiers et dont la deuxième ligne d'intersection est plane ; la trace de son plan sur le plan tangent commun est la tangente à la ligne suivant laquelle les cônes primitifs se coupent.

868. Intersection d'un tore par une sphère tangente. — Nous savons construire les asymptotes de l'indicatrice d'une surface de révolution pour un point donné (art. 822), et par suite nous pouvons déterminer les tangentes au point double de l'intersection d'une telle surface par un plan qui la touche. Nous allonsrésoudre le problème dans un cas plus compliqué, celui où les surfaces tangentes sont un (ore et une sphère.

Nous nous donnons l'axe (A, A'Z) du tore {/ig. 346), le méridien 3INR de cette surface et le centre (C, C ) de la sphère. Nous faisons tourner le plan méridien AC de manière à le rendre parallèle au plan vertical; le point (C, C) se place en (C|,C', ). .Toignant ensuite le point C, au centre E du cercle ^INR, nous prenons le segment C',0', pour rayon de la sphère. Lorsque l'on ramène le centre (C,,C',) en (C,C'), le point de contact ((),, 0',) vient en (0,0').

En prolongeant la droite C',E jusqu'à sa seconde rencontre avec le cercle MNR, on aurait le rayon d'une autre sphère tangente au tore ; enfin on obtiendrait deux autres sphères également tangentes et ayant leur centre au point (C, C), en considérant le second cercle méridien contenu dans le plan XY.