III. — De la r.oiRNERiE. — Descrijiiiie

.l8 LIVRE VIII. - COURBiniC DES SI RFACES.

Nous supposons que la sphère es( enlevée, et nous représentons seulement le tore avec l'entaille qu'il doit avoir pour la recevoir.

On construit l'intersection des deux surAiccs en les coupant par des plans linrizontaux. Nous avons indiqué sur le plan vertical un arc P'O'y's' de l'ellipse, projection du grand cende de la sphère situé dans le plan vertical OAC. Cet anpasse par les points •/ et e' de l'intersection où la tangente est horizontale. On détermine ces points en ramenant le centre de la sphère en (C,, C',), prenant les intersections y, et i\ du grand cercle qui Ibriiie alors le contour apparent de la sphère avec le méridien du tore, et les reportant dans le plan OAC.

Le contour apparent de la sphère sur le plan vertical est le cercle GH contenu ilans le plan CDL. L'arc (DL,D'L') est seul utile; nous l'avons indiqué par uneligne en points ronds, parce qu'il est virtuel (art. 555).

869. Dans la construction des tangentes au point double, nous supposerons d'abord que le centre (C, (7) a été amené en (C|,C'|) et le point de contact en

Nous plaçons le centi-e commun des surfaces osculatrices au point (C,, C, ); les indicatrices du ])oint de contact sont alors, pour la sphère, un grand cercle de rcttc surface, pour le tore une conique dont les demi-axes ont les longueurs

sO;C, x0,E, v<^,<', x0,F.

Le premier axe est tangent au méridien et le second au parallèle.

Si nous faisons tourner le plan langent 0\p' autour de la tangente au parallèle jusqu'à le rendre horizontal, les indi("atrices se projetteront horizontalement en vraie grandeur. Leur centre est au point 0, ; celle de la sphère est le cercle dont le rayon a une longueur 0,B égale à C, 0, ; l'autre est une hyperbole, car les segments 0, E et 0, Font des signes différents. En construisant les longueurs des axes (opération très facile que nous n'avons pas conservée sur la figure 1, on peut placer les sommets \ et /,, et tracer les asymptotes 0,/Jt. et 0,,a|.

Les indicatrices se rencontrent aux points (v,v') et v,, v') qui, lorsqu'on remet le plan tangent dans sa position 0', p', deviennent [^,o') et (p,, p'). Entin, le mouvement (|ui ramène le centre de la sphère en (C, C) transporte le jtoint r; en t, et les points p, ^') et (jS,, p) en (tt, n') et (-^t,, ?:',). [Les tangentes cherchées sont (n0,7:'0')et(:r,0,7r;0').

870. Digression sur les scellons circulaires du tore. — Si la sphère et le tore étaient bitangents, l'intersection aurait deux points doubles et présenterait des particularités remarquables. Avant d'examiner ce cas, nous allons étudier la courbe d'intersection d'un tore par un plan doublement tangent.

Le plan sécant étant supposé perpendiculaire au plan vertical, sa trace verticale sera une droite H'G' tangente en E' et en F' ii la méridienne complète (/%. 347).

i;ii\phi;k ir. - \pri,ic\TiONS divkrsks. .')9

On peut rnnslniin' l'intorsectioii |i;ir la iDrlhodc de rarlidc 102 : un plan horizontal auxiliaire .iv Wùl tninver quatre points (|ui se pidjetlent veiticalement en M , et dont les projections horizontales sont M. .M,. /// et //(,.

Pour avoir rinlerseclion dans sa vraie grandeur, nous rahattons le plan sécant sur le plan vertical OX. en le faisant tourner autour de sa trace HG'. Le point (M, M') se place en M" sur la perpendiculaire élevée en 31 à U (V, et à une distance de 0' égale à ON, parce que tous les points d'un parallide xmt également éloignés du centre tlii tore.

Nous traçons le rayon IN, puis les (Imites Oc, 0 /■ e( \] /.■ resperlivenient perpendiculaires à IN', K F et O Z; entin nous tiinns M"/-.

Les triangles seuihlahles I \ v et \ 0 e d'une part, O M a et O I F de Fautre, donnent