y __ N'y l'F M> l'O' ^ O'e' 10 ~ MO
En comparant ces équations terme à terme, on ohtient
Oe = OM.
Nous savons, d'ailleurs, (|u"il y a égalité entre les longueurs .M"0 elN 0 ; les deux triano-les rectangles OM'.AI et O'N'e sont donc éi-aux. l'ançle O'NT est égal à son homologue 0'M"M', et par suite îi M"07-. Si maintenant nous considérons les deux triangles O'Wk et N'OT, nous voyons qu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun; il en résulte qu'il y a égalité entre leurs troisièmes cotés et que la distance du point M" de l'intersection au point fixe k est la longueur constante 0 T. Le lieu des points M" est donc un cercle décrit autour <lu point X- avec un rayon égal à 0 1 . Si l'on raisonnait sur le point/»",, on verrait (ju'il appartient à un cercle dont le centre Â-, est symétrique de A- par rapport ii E F : donc l'intersection complète d'un tore et d'un plan bitangent se compose de deiur cercles égaux.
La projection horizontale de chaque cercle est une ellipse dont le grand axe est le diamètre projeté verticalement sur le point 0'. On trouve, d'après cela, que les grands axes des deux ellipses sont CD et C, D, : leur longueur est double
de or."
Le petit axe est la projection du diamètre qui a la plus grande pente. Les sommets H et G d'une ellipse correspondent par conséquent aux points H' et G' qui appartiennent l'un au parallèle inférieur, l'autre au parallèle supérieur; or les rayons de ces parallèles sont égaux ii O'I'; la distance des sommets H et G au point 0 est donc égale à la moitié du grand axe CD, et le point 0 est un ibyei' commun des ellipses.
5q LivKr; VIII. - colrbure des surfaces.
La tangente E'F' engeinlre, dans sa révolution autour de l'axe, un cône doublement circonscrit au tore. Tout plan'tangent à ce cône coupe le tore suivant deux cercles, et comme on peut mener deux |)lans tangents au cône de tout point du tore, on voit qu'il passe par chaque point de celte dernière surface deux sections circulaires indépendamment du méridien et du parallide. Nous supposons (]ue la surface n'a pas de points sur l'axe, sans cela deux méridiens contenus dans un nième plan n'auraiiMit pas des tangentes alternes communes, et le cône n'existerait pas.
871. Concevons que par les centres (K, 0'), (K,, 0') des cercles on élève des perpendiculaires (KV, O'V), (K|V,. O'V à leur plan; chacune de ces droites sera le lieu des centres des sphères auxquelles appartient le cercle dont elle contient le centre. Si le plan sécant tourne en restant bi tangent, les deux droites (KV, O'V), (K,V,, O'V) entraînées dans le mouvement formeront les génératrices des deux systèmes d'un même hyperboloïde. On voit que les cercles situés dans les plans bitangents forment deux séries qui correspondent aux génératrices des deux systi'mes d'un hyperboloïde de révolution.
Par un point quelconque de ['hyperboloïde, il passe deux génératrices de systèmes différents, et les longueurs de ces droites comprises entre le plan horizontal et le point considéré sont évidemment égales. Ce point est donc le centre d'une sphère qui contient les deux cercles égaux dont ces droites sont les axes.
Deux cercles qui n'appartiennent pas à la même série sont sur une sphère, car leurs axes se rencontrent. Deux cercles d'une même série ne sont pas sur une sphère.
Toute sphère ([ui contient deux cercles est tangente au tore aux points où ces courbes se coupent.
L'axe horizontal de l'hyperbole méridienne de l'hyperboloïde est égal à KK, ; mais, en remarquant que les droites DD, etr/V/, sont égales entre elles, et que les segments KD et KjD, sont égaux à 0 T, on reconnaît (pie KK, a la longueur du diamètre c' d' du cercle méridien du tore. L'hyperbole a d'ailleurs j)our une de ses asymptotes la droite O'V; son demi-axe non transverse est donc
l'c tangJ'O'V, ou rF'tangOTF', ou enfin O'F'.
D'après la grandeur des deux axes, on trouve que les centres V et J' des cercles méridiens sont les foyers de l'hyperbole. Nous avons tracé cette courbe sur la //-. 349-
872. Supposons maintenant qu'une sphère touche le tore en deux points; les normales communes aux deux surfaces en ces points se rencontrent au centre de la sphère et coupent l'axe en un même point ou en des points différents, suivant que les points de contact appartiennent ou non à un même parallèle. Dans le
ciiArniii-: ii. - applications diverses. 6i
premier cas, la sphère est circonscrite au tore le long de ce parallèle; dans le second, que nous allons examiner, le plan des deux normales contient l'axe de la surface.
P et Q sont les points de contact {fig. 3 '19 ; \ et J' les centres des cercles méridiens sur lesquels se trouvent ces points; m le centre de la sphère bitangente et O'Z l'axe du tore. Nous désignerons par la lettre h le rayon l'P.
On a
m\' - IM' = //?J' + J'Q;
inM — m\ =^ ib.
Le point m est donc sur une hyperbole dont l'axe transverse est 7.1) et dont les foyers sont r et J', c'est-;i-dire sur l'hyperbole lieu des centres des sphères qui coupent le tore suivant deux cercles. 3Iais ces dernières sphères sont bitangentes (art. 871 ) et leurs points de contact sont nécessairement dans le plan méridien de leur centre. Celle dont le centre est en m se confond donc avec la sphère tangente en P et en Q, car le point m n'étant pas sur l'axe O'Z ne peut être le centre de deux cercles distincts tangents l'un et l'autre aux cercles l'P et J'Q. Donc toute sphère bitangente à un tore, et non circonscrite, coupe cette surface suuant deux cercles égaux (' ). Les plans (|ui ont deux points de contact doivent être considérés comme des sphères doublement tangentes, et dont les centres sont aux points de riiyperboloïde situés à l'infini.
Si l'abscisse OT est plus petite (pie^, les sommets L et T seront au delà des foyers r et J, et l'hyperbole méridienne se changera en une ellipse LRTS (^0^.348). Le lieu des centres des sphères bitangentes (et non circonscrites) deviendra donc un ellipsoïde. Les génératrices rectilignes seront alors imaginaires, ainsi que les sections circulaires qui leur correspondent (■).
(') On peut aussi roinarqiier que la droite (nii irait du point P au point Q passerait i)ar le centre 0' du tore et serait, par conséquent, dans deux plans tangents au cône de révolution (pie nous avons considéré à l'article 870. Chacun de ces plans coupe le tore suivant deux cercles dont un se confond avec la section faite dans la sphère, car il passe par les points P et Q, et il y touche celte section.
Pour prouver que le point 0' où la droite PQ coupe l'J' est le centre du tore, on mène la droite J'Qi passant par le point d'intersection de la circonférence J' et de la droite PQ; les angles J'QQi, J'QiQ et /«PQ étant égaux, J'Qi est parallèle à mP; alors les triangles O'J'Qi et 0'1'P sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, et par suite J'O' égale l'O'.
(2) Yvon Villarceau a établi que tout plan bitangent coupe le tore suivant deux cercles {Comptes rendus. 7." semestre, 1848). M. Mannheim a reconnu que les sphères doublement tangentes jouissent de la même propriété {Nouvelles Annales de Mathématiques., 1860). Nous avons démontré, sur la surface engendrée par la révolution d'une conique autour d'une droite située d'une manière quelconque dans l'espace, des théorèmes plus généraux, et dont les proi)ositions insérées aux articles 870-872 ne sont (pie des corollaires {Juunial de l'Ecole Polytcchiuquc, XL' cahier, i863).
Rayons de courbure ilc la section fin tore par un plan tani^ent. 875. L'équation (24 de l'article 817
va nous permettre de (iéterniinerles rayons de courbure de lasection du tore par un plan tangent, au point double de cette courbe (').
Nous appelons, comme précédemment, h le rayon I1\I du cercle méridien [fig- S.K)) et a la distance 01 de son centre à l'axe de la surface. Nous prenons pour axes coordonnés les droites OX, OZ et leur perpendiculaire commune au point 0.
L'équation dû cercle méridien est
Pour avoir l'équation du tore, il suffit de remplacer l'abscisse X par le ravon \X*-t- Y'du parallèle correspondant. En faisant disparaître le radical, on obtient
(i) (X= + Y= + Z^ + à' -b^f- ,'Kr (X^ 4- Y^) = o.
Nous allons considérer l'intersection de la surface par le plan qui la toucbe en un point M déterminé, sur la méridienne, par l'azimut MIO, que nous appelons tu.
Nous transportons l'origine au point M, et nous prenons pour nouveaux axes coordonnés les droites Mj:-, M: et leur commune perpendiculaire. Un a
1 X = a- sinoj — :; cosoj — b cosw -1- a, Z ^ X cosoj 4- z sinto + b sinc^.
(') On peut appliquer la règle de l'article 779 pour trouver les rayons de courbure en un poinl double d'uiie courbe plane, on modifiant ainsi ceUe règle. L'équalion, en coordonnées rectangulaires, d'une courbe plane ayant à l'origine un point double M, ne renferme pas de termes inférieurs au second degré. Prenant une tangente en M pour axe dos a et sa perpendiculaire en M pour axe des 6, l'équation de la courbe, rapportée à ces axes, ne doit pas contenir de terme en a.'. Donc le rapport de ^- à 2^ s'obtiendra après avoir annulé les termes infiniment petits dun ordre supérieur au troisième.
Pour le cas examiné par l'Auteur, on fait z = o dans la dernière équation de l'article 873, on remplace .r et r respectivement par acos9 — |5sin9 et a siu5 -i- S cosO, G étant égal à l'angle .rMa. on supprime les termes infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième, ce qui donne a'sinwcosS -f- a2(n cos-9 — icosw) — inapsinS cos9 = o.
Le coefficient de a- devant être nul. on trouve sinO. et par suite la valeur de p donnée à l'article 876.
CHVriTP.F, II. - APPLICATIONS DIVERSES. 63
Kii portant ces valeurs dans l'équation (r), on obtient pour nouvelle é(|uatioii de la surface
[ .»•- -h y- -+- :•- -+- 2a{x sinto — : cosw -f- 2h:- -+- 2a(a — /^cosco ]- — 4«'[(j"siii(o — - cosoj)''+2(a — &cosoj)(j:sinco — rcosiol + (a — />c()S(.) - + v^ ] = o.
87 i. Si nous ne considérons que la partie de la surface voisine du point .M. les coordonnées x et y seront infiniment petitesdu premier ordre et l'ordonnéeinfiniment petite du second ordre. Développant alors l'équation et négligeant les termes d'un ordre supérieur au troisième, au fur et à mesure qu'ils se présentent, on obtient, après quelques réductions qui se présentent d'elles-mêmes,
\ [a — h cosw;j:- — by- cosco + ib a — h cosoj ;s ' -+- (a:--t- y^)a.-sinco -1- 2/;j:'3 sin
co
l'our avoir l'équation de l'indicatrice, il suffit de négliger les termes du troisième ordre, ce qui donne
(i — h cosio ;j;-- — by- cosoj -\- ib a — b cosw).s = o.
On déduit ininiédiatenienl de cette équation les valeurs suivantes des rayons de eourbure des sections principales art. 791)
„ 7 1) « — b COSOJ
n. ^ — l>, il, =
COSiD
Nous trouvons une valeur négative pour le rayon de conrbnre de la méridienne, parce que les formules (2) ont été établies dans l'hypotbèse que la partie positive de l'axe des coordonnées s'étend de 31 vers z (art. 777).
87o. Le point pour lequel nous voulons déterminer les longueurs -j. et ^-j est situé sur une section fiiite par un plan normal contenant une asvmptote de l'in- <licatrice. Les coordonnées .r et y de ce point satisfont donc à l'équation des asymptotes que l'on obtient facilement d'après la grandeur des rayons de courbure, ou en supposant = nulle dans l'équation de l'indicatrice; on a donc
(4) (rt — b eosco la" — by- eosto = o.
Ku égard à cette relation, l'équation .j^ se réduit à
7.b[a — b cosoi)z -+- [x- -h y-)jcsm<i) -+- -ib.iz s\no> = o.
En résolvant par lapport à z, on obtient
'2 b(a — b cosoj) -+- -il) .r sillo)
Si l'on eiïectuait la division, le second terme du dénominateur n'introduirait qu'un infiniment petit du quatrième ordre; nous pouvons donc le supprimer, el écrire simplement
876. Le calcul du rayon p ne présente plus de difficultés. Nous avons immédiatement
La substitution des valeurs de y- et de z, déduites de ces formules, dans les équations (4) et (5), donne
( \ bis) ai' — a-hcos'j) = o,
(5to) |3 = - ''"'"
2 b {a — bcosoi)
En portant la valeur {obis) de /3 dans l'équation qui est au commencement de l'article 875, on obtient
ab(a — ècosw')
a- sincoy/ — RiH-i
Les valeurs de R, et de Rj ont été trouvées à l'article précédent. L'é(iuation {f\bis) donne le rapport-; pour avoir l'expression cberchée, il suffit d'éliminer ces trois quantités entre les trois équations précédentes. On obtient
p = -. — Ja(a — b cos(
Cette équation conduit à une construction très simple pour la grandeur absolue du rayon p.
Le plan méridien du point de contact divise la section en deux parties symétriques, et par suite les rayons de courbure des deux branches ont les mêmes
longueurs.
Quand le point ^I est en A, w est nul et p infini : chaque branche possède alors
une inflexion. Lorsque la trace MT du plan tangent touche la méridienne inverse,
on a
b — acosw = o, ou 00 = 90".
Dans un cas comme dans l'autre, le rayon p est égal à a, ce qui s'accorde avec les résultats de l'article 870. Il existe une valeur de w comprise entre les deux précédentes qui donne pour p une valeur minimum. Nous remarquerons enfin
CIlM'IlItK III. - TIIKOHKMI-; DES TANGENTES CONJUGUÉES. GS
que si la méridieiiiio ne rencontre pas l'axe, la valeur du rayon déterminée par la formule est toujours réelle, bien que la section soit imai^'inaire quand le point de contact est sur la partie convexe du tore ( ' ).
