CHAPITRE HT

TIIÉOr.ÉME DES TANGENTES CONJUGUÉES.

Démonstmlion de ce théorème.

877. Nous avons vu qu'une courbe d'ombre propre est une ligne de contact de la surface considérée avec une développable. En chacun de ses points les plans tangents aux deux surfaces se confondent, et par suite le procédé que l'on emploie ordinairement pour la construction des tangentes aux lignes communes à deux surfaces est inapplicable. On doit à Ch. Dupin un théorème qui permet de déterminer les tangentes à une courbe d'ombre propre, lorsque l'on connaît les rayons de courbure de la surface éclairée (-). Nous allons démontrer ce théorème, nous en développerons ensuite les conséquences.

Soit Q. (fig. 354) la courbe de contact d'une développable avec une surface donnée : l'intersection des plans tangents au point 0 de cette ligne et au point infiniment voisin m est une génératrice de la développable. Un plan passant par le point/» et parallèle au plan tangent en 0 coupe la surface suivant une conique Ym que l'on peut prendre pour indicatrice (art. 789 ;. La tangente mCi à cette courbe est parallèle à la génératrice de la développable, car elle est parallèle au plan tangent en 0 et située dans le plan tangent en m; mais elle est aussi parallèle au diamètre IF qui, dans l'indicatrice, est conjugué à celui qui aboutit au point ?n; le diamètre IF est donc parallèle à la génératrice de la développable. Le diamètre Im est d'ailleurs parallèle à la tangente Oï à la courbe 12; on peut même dire qu'il se confond avec elle, car leur distance est infiniment

(•) Nous indiquerons en quelques nuits une dernière application aux surfaces de révuhition des ihéorèmes relatifs à la courlniro des surfaces.

(juand une surface de révolution est donnée par son axe et une courbe génératrice, si une tangente à cette ligne est perpendiculaire au plan méridien du point de contact, la méridienne a un point de rebroussement. La tangente de robroussement est tangente à la zone sphériqne décrite par la révolution du cercle osculaleur de la génératrice, et par suite on peut la tracer lorsque l'on connaît le centre de courbure de cette ligne. La construction que nous venons d'indiquer nous a été utile dans nos études sur le tore général {Journal de V École Polytechnique^ XL* Cahier, i863).

(*) Développements de Géométrie.