III. — De la GoiRNEnic. — Descn'ptire. y

G6 I.IVr.E VIII. — COURBl'RF, DES SURFACES.

petite du second ordre et le point m peut être considéré comme appartenant à OT. Nous voyons ainsi que, quand une développahle est circonscrite à une surface, en un point quelconque de la courbe de contact, la tan fiente à cette ligne et la génératrice de la déi'eloppable sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice de la surface inscrite.

Si l'on se reporte aux considérations présentées à l'article 598 sur les asymptotes des courbes du second ordre, on verra f|ue l'on peut modifier l'énoncé du théorème, et dire ({ue la tangente à la courbe de contact et la génératrice de la dévetoppable sont conjuguées harmoniques des asymptotes de l'indicatrice. Le théoi'ème ainsi présenté devient d'un emploi facile pour les surfaces à courbures opposées.

La tangente T et la génératrice G sont appelées tangentes conjuguées, parce que, si la première était une génératrice d'une développable circonscrite, la seconde serait tangente à la courbe de contact.

Constructiuii des tangentes aux courbes d'ombre propre.

878. Le théorème des tangentes conjuguées permet de construire les tangentes aux courbes d'ombre propre, lorsque l'on peut déterminer l'indicatrice de la surface au point considéré. Les propriétés des diamètres conjugués des courbes du second ordre étant projectives, on peut opérer sur un plan de projection, comme on le ferait sur le plan de l'indicatrice.

Proposons-nous de déterminer la tangente au point (M, 31') de la courbe d'ombre du tore représenté sur Va Jig. 212. Nous transportons le point (M, M') en (R.R'j sur le méridien principal, par une rotation autour de l'axe, et nous déterminons les rayons de courbure R'C et R'« du méridien et de la seconde section principale (art. 821). Les centres de courbure G et ij sont d'un même côté du point R', et par suite l'indicatrice est une ellipse.

Nous prenons le paramètre c égal à R'C (art. 787), alors les demi-axes de l'indicatrice sont

R'C, vR'coxRG ou R'F.

Le premier correspond au ravon de courbure de la méridienne; nous le plaçons en R'C, sur la tangente h cette courbe; la projection le réduit sur le plan horizontal à la longueur RC|, qui doit étie ramenée en Me. Le second axe est horizontal et se projette en vraie grandeur sur la droite J^IJ, double de R'F et perpendiculaire à OM. Le problème qu'il faut résoudre consiste à tracer le diamètre conjugué du rayon lumineux SMT, dans l'ellipse qui a son centre en M et dont les points J, J, et c sont trois sommets.

Considérons le cercle qui a pour diamètre JJ, et qui se projette sur cette el-