CHAPITRE III. — THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

lipse, et faisons-le touriici" autour de JJ, jusqu'à le rendre horizontal : le point (|ui se projetait en c ira en K; la corde Je deviendra JK; le point jS sera amené en p|, et le diamètre iM,';T en IMjS,. Le diamètre conjugué à M/3, dans le cercle est la perpendiculaire Ma, à M°j,. Si nous ramenons le cercle dans sa première position, la corde J,K se place en i,c, le point a, arrive en </., et la droite Mx est dans l'ellipse le diamètre conjugué à MT; c'est donc la projection horizontale de la tangente à la courbe d'ombre. La tangente étant dans le plan tangent au point (M, M'), on obtiendrait facilement sa projection verticale.

Les tracés deviennent plus simples quand la surface est à courbures opposées : on détermine alors les asymptotes de l'indicatrice, et l'on cherche la conjuguée harmonique du rayon de lumière.

La construction que nous avons fait connaître aux articles Hi9 et 8j5 peut être employée dans tous les cas, lorsque la surface est convexe comme lorsque ses courbures sont opposées.

879. Quand l'un des rayons de courbure est infini, l'indicatrice se compose de deux droites jiarallèles; alors, quelle que soit la direction du rayon de lumière dans le plan tangent, le diamètre qui lui est conjugué est la tangente ii la section principale dont le rayon est infini. On voit, d'après cela, que si, sur une surface développable, un point non situé sur l'arête de rebroussement appartient à une ligne d'ombre, la génératrice qui y passe fera partie de cette ligne, ce qui est conforme aux résultats que nous avons obtenus précédemment (art. 679 .

Quand le point lumineux est sur la tangente à la section dont le rayon est infini, le théorème donne une direction indéterminée pour la tangente à la courbe d'ombre; il ne suflit donc plus à la solution du problème. Nous ne nous •arrêterons pas à ce cas particulier ( ' ).

880. Lorsque l'un des rayons principaux est nul, l'indicatrice est une ellipse dont un des axes est nul (art. 808). Quelle que soit alors la direction du rayon de lumière, son diamètre conjugué se confond avec l'autre axe, et par conséquent toutes les lignes d'ombre sont tangentes à la section principale dont le rayon n'est pas nul. Il résulte d'ailleurs de la multiplicité des plans tangents au point considéré qu'une infinité de lignes d'ombre y passent. Nous obtenons ainsi une extension du théorème que nous avons démontré à l'article G54 pour les sommets des surfaces gauches.

881. Quand le point lumineux est sur la surface éclairée, la courbe d' ombre a deux branches qui se croisent à ce point tangentes aux dewv asymptotes de Vindica-

( ' ) On trouvera une étude de cette question dans les leiumcs qui sont au commencement de notre Mémoire sur les lignes d'ombre et de perspective des surfaces de re'mlutinn {Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXV Cahier, i853). Nous nous bornerons à dire que, dans le cas dont il s'agit, le point considéré de la surface est en général un point double de la courbe d"ombre.

trice, car une quelconque de ces droites passe au point lumineux, et peut être regardée comme tangente à la surface en un point infiniment voisin. Elle est d'ailleurs son propre diamètre conjugué.

Construction des tangentes et des asymptotes aux courbes - d'ombre propre des surfaces gauches.

882. Nous savons que les secondes asymptotes des indicatrices aux différents pointsd'unegénératriced'une surfece gauche forment unliyperholoïde(art.82o). Quand on connaît trois de ces droites l'hyperboloïde est déterminé, et l'on peut obtenir la tangente à une courbe d'ombre au point où elle rencontre la génératrice. Dans l'étude qui va suivre nous supposerons que l'on a construit la conique qui forme le contour apparent de cette surface par rapport à un plan quelconque, que l'on prend pour plan de projection.

Soient AM la projection de la génératrice [fig- 35 1), M le point où elle est rencontrée par la courbe d'ombre, S la projection du point lumineux et Q. le contour apparent de l'hyperboloïde osculateur le long de la génératrice AM : la seconde asymptote de l'indicatrice au point M est la droite MB tangente à il. Le rayon SM et la tangente à la courbe d'ombre sont donc conjugués harmoniques des droites MA et MB. Nous traçons la parallèle PN à MA, et nous portons au delà de N une longueur NG égale au segment PN : la tangente cherchée estMD.

Si le plan de projection était perpendiculaire à une génératrice du cône asymptote de l'hyperboloïde,' et par suite à une génératrice de chaque système de cette surface, les secondes asymptotes des indicatrices divergeraient d'un même point, et leur détermination serait plus facile encore que dans le cas où le conlour apparent de l'hyperboloïde est une conique.

883. Quand le point M s'éloigne à l'infini sur la génératrice, la construction précédente se trouve en défaut, et il faut recourir à une autre propriété des conjuguées harmoniques pour déterminer l'asymptote à la courbe d'ombre ( ').

SV étant une sécante quelconque passant par le point S {fig. 35 1), on a (art. «01)

bel' ad Si l'on rapporte tous les segments h une origine commune /• placée où l'on

( ') Nous ne considérons dans les courbes d'ombre que les branches infiaies de la première espèce (art. 638).

ClIAPITliE m. — THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES. fyg

voudra sur la sécante, l'équation deviendra

XS — Ah /.S — ka

kd — kb'kd—ka~ Lorsque le point k est le milieu du segment ab, on a

kb = — ka,

et l'équation devient

A-S-|-A-« . k's — ka

kd -+- ka ' kd — ka

Eu développant et en réduisant, on obtient

ka ^ XS X kd.

Quand le point M s'éloigne à l'infini [fig. 3j2), la seconde asymptote de l'indicatrice est la droite B3I parallèle à A^I et tangente à O. Si du point S on trace une sécante SV, le point cl où passe l'asymptote à la courbe d'ombre sera déterminé par l'équation précédente, qui conduit à une construction facile.

Quand le point S est situé entre les droites AM et BMetà égales distances de ces lignes, X-S est nul et la formule donne pour M une valeur infinie. La branche considérée de la courbe d'ombre est par conséquent parabolique.

884. Quand la surface gauche a un plan directeur, les secondes asymptotes des indicatrices aux divers points d'une génératrice forment un paraboloïde, et le contour apparent de cette surface est une parabole. Cette circonstance ne modifie pas la construction pour les tangentes à une courbe d'ombre aux points situés à distance finie, mais la construction des asymptotes à la courbe d'ombre devient plus facile, parce que la tangente MB parallèle à la génératrice MA (y2o-. 3j2) disparait à l'infini.

Lorsque le point h s'éloigne, le rapport de èS à bel approche de l'unité, et, quand le point b est à l'intini, ht première équation de l'article 883 se réduit à

« S = — ad.

Cette équation nous montre (jue, lorsqu'un cône est circonscrit à un conoïde, son sommet et une asymptote de la courbe de contact sont situes de part et d'autre et à égales distances de la génératrice, dans le plan (pu est tangent à l'infini.

Pour quelques positions exceptionnelles d'un paraboloïde, les projections des génératrices n'ont pas une parabole pour enveloppe; mais, afin d'éviter une discussion minutieuse etpeu importante, nous remarquerons qu'on peuttoujours prendre un plan de projection disposé de manière que le contour apparent de cette surface

■jO LIVRE VIII. - COURBURE DES SURFACES.

soit une parabole, et que cela suffit pour que le théorème qui précède soit démontré d'une manière générale.

88j. La tangente à la courite d'oinhre et lo rayon de lumière sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice, el la génératrice de la surlace en est une asymptote. Il résulte de là que la tangente se confond avec la génératrice en un autre point qu'aux sommets (art. 880), seulement quand le rayon coïncide avec elle; la génératrice fait alors partie de la courhe d'ombre et est sa propre tangente. On peut étendre ce raisonnement aux asymptotes. Les génératrices ne sont donc tangentes ou asymptotes aux courbes d'ombre qu'aux sommets de la surface.

88G. Supposons maintenant que les rayons de lumière soient parallèles à une droite R dont la direction est différente de celle de la génératrice AM {fig'iSZ) : si le point M appartient à la courbe d'ombre, la tangente Mf/sera telle qu'en traçant une sécante quelconque UV, le rayon de lumière M^ et la tangente MB à û, on aura

bs ^ bd

as ad

Quand le point M s'éloigne à l'infini, le point .$ va également à l'infini, le rapport

bs

— est éa:al à l'unité, et l'on a as °

par conséquent, quand une surface gauche est éclairée par des rayons parallèles, l'asymptote à une branche infime de la courbe d' ombre est dans le plan tangent à l'infini, et à égales distances de la génératrice de la surface gauche et de celle des génératrices de l'hyperboloïde osculateur cpii est parallèle à cette droite.

887. Quand les rayons de lumière sont parallèles à une génératrice G, cette droite fait partie de la courbe d'ombre. Le plan tangent au point de la génératrice voisine situé à l'infini est parallèle à G (art. 61o), et par suite aux rayons de lumière. Le point situé à l'infini sur la génératrice voisine de G appartient donc à la courbe d'ombre; en d'autres termes, la courbe d'ombre proprement dite a une branche ([ui rencontre la génératrice G à l'infini.

Pour reconnaître quelle est l'asymptote, nous remarquerons que si le point M est un point de contact pour des rayons parallèles àMB [fig- 353), cette droite est tangente à la courbe d'ombre. Lorsque le point "SI s'éloigne à l'infini sur MA, elle devient asymptote et prend la position B, Z», ; les rayons sont alors parallèles à 3IA.

Il résulte de là que, quand une génératrice G est parallèle aux rayons de lumière, la courhe d'ombre a une branche infinie dont r asymptote est la génératrice parallèle à G dans V hyperholoïde osculateur le long de cette droite.

CIIAPITUE m. - TllKOIiEMl!; DES TANGENTES CONJUGUEES.

Parties réelles et parties virtuelles des courbes d'ombre propre (').

888. Définitions. — Les surfaces, telles qu'on les considi're dans les pioblônios d'application, recouvrent des corps opaques, et la courbe de contact d'un cône circonscrit ne forme ligne d'ombre propre, lorsqu'un point lumineux est au sommet, que quand les génératrices rectilignes sont extérieures. Si, près du point de tangence, les génératrices sont dans l'intérieur du corps, la courbe de contact n'a aucune importance.

La Jig. 368 représente une section faite dans le corps éclairé par un plan contenant le point lumineux S. On peut lui mener de ce point six tangentes, les points m, r et r/ appartiennent à la ligne de séparation d'ombre et de lumière; nous dirons que ce sont des points mA de la ligne d'ombre propre, tandis (|iie nous appellerons virtuels les points p et t situés sur des tangentes géométriques qui n'existent pas comme rayons de lumière. La tangente S« traverse le corps avant de le toucher extérieurement en /(. Ce point n'est donc pas sur la séparatrice; nous le considérerons cependant comme réel : il est dans la position de tout autre point réel, tel que m pu r, devant lequel on placerait un écran. Le point p ne peut appartenir à la ligne d'ombre, quelque part que l'on suppose le point lumineux sur la tangente /jS; le point n, au contraire, deviendrait utile, dans le cas oîi le point lumineux serait entre n, et n, ou au delà de «en S,.

Si le corps opaque se trouvait de l'autre côté de la surface, comme il est représenté sur \Ajîg. 367, les points réels deviendraient virtuels, et réciproquement. Nous avons déjà signalé cette circonstance à l'article 355.

889. Les points réels et les points virtuels formentquelquefois des courbes séparées; ainsi dans le cas de \'Afig. 3G6, qui représente une surface de révolution éclairée par un point lumineux placé sur son axe, on trouve une ligne d'ombre virtuelle suivant le paralièle/j/j' et deux lignes d'ombre réelles suivant les paralii'les mnî et nn ; la première seule est utile.

Le plussouventles points réelsctlespointsvirtuelsformentdes partiesdistinctes d'une même courbe. 11 est alors important de déterminer la position des points limites.

Une génératrice du cône circonscrit est extérieure ou intérieure près de son

( ' ) Nous avons déjà examiné cette question dans le \\° Livre de notre Traite de Perspective ( i ™ édition ), mais sans lui donner tout le développement qu'elle comporte. [Jules de la Gourneric a supprimé cette (|uostion dims la seconde édition do son Traité de Perspective . (E. L-^i]

„2 LIVRE Vin. — COURBURE DES SURFACES.

point de contact, suivant que ce point est réel ou virtuel. Au point limite, la génératrice passant de l'extérieur à l'intérieur du corps a un contact du second ordre avec la surface.

Cette circonstance ne peut pas se présenter sur les surfaces convexes, parce qu'elles n'ont qu'un contact du premier ordre avec leurs tangentes. La courbe d'ombre d'une surface de ce genre est donc entièrement réelle ou entièrement virtuelle. Elle est réelle pour une sphère en relief, et virtuelle pour une sphère creuse. Les droites parallèles aux rayons de lumière et tangentes à la surface supérieure de la niche représentée sur Vàfig. 20G sont noyées dans la maçonnerie près de leur point de contact, et nous n'avons eu à considérer que des ombres portées (art. 541).

Les surfaces à courbures opposées ont, en chaque point, un contact du second ordre avec deux de leurs tangentes, qui sont les asymptotes de l'indicatrice (art. 790). Leurs courbes d'ombre peuvent donc être composées d'arcs réels et d'arcs virtuels : aux points limites la génératrice du cône circonscrit, c'est-à-dire le rayon de lumière, est une des deux asymptotes de l'indicatrice.

890. En tout point de la courbe d'ombre, la tangente à cette ligne et le rayon de lumière sont deux diamètres conjugués de l'indicatrice : or l'asymptote d'une hyperbole est son propre diamètre conjugué; donc, aux points limites, le rayon de lumière est tangent à la ligne d'ombre.

Réciproquement, si le rayon de lumière est tangent à la ligne d'ombre, il se confond avec son diamètre conjugué; il est donc une asymptote de l'indicatrice, et par suite il a un contact du second ordre avec la surAice, et il se trouve à la limite des tangentes extérieures et des tangentes intérieures. Un arc réel de la ligne d'ombre s'arrête au point de contact considéré.

Ces résultats sont souniisà certaines restrictions. Si le rayon de lumière, qui est asymptote de l'indicatrice de son point de contact, avait avec la surface un contact du troisième ordre, il serait tout entier d'un mémecùté, en dehors du corps, par exemple, et il ne formerait plus limite; la courbe serait réelle d'un côté comme de l'autre. On peut supposer qu'elle avait primitivement un arc virtuel, et que le point lumineux s'est transporté dans l'espace, de manière à réduire graduellement cet arc et à l'anéantir.

Nous ne reviendrons pas sur ces cas d'exception. Toutes les questions de Géométrie en présentent d'analogues.

891. La courbe de contact d'un cône circonscrit peut être considérée comme la directrice de cette surface; mais nous savons qu'un cône a un rebroussement lorsque la génératrice est tangente à la directrice (art. 217). Nous voyons donc que le cône circonscrit à une surface a un rebroussement le long de chacune des génératrices qui sont asymptotes de Vindicatrice de leur point de contact. Si un point lumineux est au sommet du cône, les deux parties de cette surface qui se