CHAPITKE III. - THÉORÈME DES TANGENTES CONJUGUÉES

réunissent à une génératrice de rebroussement correspondent, l'une à un aie réel de la courbe d'ombre, l'autre à un arc virtuel.

Quand un cône circonscrit à une surface a un rebroussement le ions; d'une génératrice, la courbe de contact ne peut passer sans rebroussement d'une partie à l'autre qu'on loucbant la génératrice qui forme arête, et celle-ci, se trouvant tangente à la courbe de contact, est une asymptote de l'indicatrice; elle a donc un contact du second ordre avec la surface, et par suite elle doit être à la limite des tangentes extérieures et des tangentes intérieures.

Nous avons supposé que la courbe de Contact n'avait pas de rebroussement; si elle en avait un, ses arcs, situés de part et d'autre du point de rebroussement. seraient tous les deux réels ou virtuels. Cette circonstance peut se présenter sur les surfaces qui ont des arêtes de rebroussement.

892. Quand on a déterminé une projection d'une ligne d'ombre, les tangentes à cette courbe menées par la projection du point lumineux font connaître les points limites. Il ne peut y avoir d'exception que quand le plan tangent est perpendiculaire au pian de projection, parce qu'alors la tangente à la courbe d'ombre et le rayon de lumière, même lorsqu'ils sont distincts dans l'espace, se confondent en projection.

Sur quelques surfaces on peut déterminer les points limites descourbes d'ombre par des méthodes particulières et plus simples.

Quand on construit une courbe d'ombre par la métbodedes projections obliques ■( art. 571 ), les points limites sont indiqués par des points de rebroussement de la trace du cône d'ombre. Alors, en prenant les ombres portées par les génératrices considérées, on trouve que l'une de ces ombres coupe celle qui la précède et celle qui la suit d'un même côté du point où elle est toucbée par l'enveloppe.

893. Etude des lignes d'ombre propre du tore. — Nous nous sommes occupé des ombres du tore à l'article 543, mais nous avons seulement considéré la partie ou nappe convexe de cette surface; nous allons maintenant recberclier les particularités que présente la ligne d'ombre propre sur la nappe à courbures opposées.

Nous supposons le point lumineux (S, S') dans le plan méridien de front {^g. 358). Ce plan divise le tore en deux parties sur lesquelles les lignes d'ombre sont symétriques. Nous n'avons représenté que l'une des moitiés.

On détermine par les procédés de l'article 551 les courbes d'ombre (B6, B'b') i':t{AGuga, \' G' u' g' a' ) ; la première est sur la nappe convexe, la seconde sur celle dont les courbures sont opposées. Nous avons expliqué à l'article 878 comment on peut construire les tangentes à ces lignes. Si la méridienne était formée d'arcs de courbes différentes ayant un contact du premier ordre seulement, la ligne d'ombre serait brisée à chaque parallèle de raccordement. On trouve ainsi (|iie la ligne d'ombre d'un cylindre terminé par une demi-sphère d'un diamètre

m. — De la Gûukxerie. — Descriptive. ÏO

n'i LIVHK VIII. — COURBURE DES SURFACES.

égal au sien se compose de deux droites et d'un ;irc de cercle qui ne les continue pas tangentiellement.

89 î. Il est important de distinguer les arcs réels et les arcs virtuels sur la courbe d'ombre de la nappe intérieure ilu tore.

Les points (A, A') et {a, a') sont réels, car les rayons (SA, S'A') et (Sa, S'a') sont extérieurs aux méridiennes. Nous allons cbercher s'il y a entre eux des points limites.

Un point quelconque (M, M') de la méridienne principale serait l'extrémité d'un arc utile de la ligne d'ombre, si l'une des deux asymptotes de l'indicatrice de la surface en ce point passait par le point lumineux. Il est facile de construire ces asymptotes (art. 822); l'une d'elles est la droite (MN, MN'); elle rencontre au point (N, N') le cylindre vertical qui a pour trace horizontale le cercle décrit du point 0 comme centre, avec OS pour rayon. La seconde asymptote de l'indicatrice perce le même cylindre en un point dont la projection horizontale est symétrique de N par rapport à OS, et dont la projection verticale est N'. En attribuant successivement différentes positions au point M' sur la méridienne principale, on détermine la courbe N'ï, projection verticale de l'intersection du cylindre OS avec la surface lieu des asymptotes de l'indicatrice aux différents points de la méridienne A'B'.

Nous traçons une horizontale par le point S', et du point K' où elle rencontre la courbe d'erreur N'ï nous menons une tangente KL' à la méridienne. Une des a.symptotes de l'indicatrice du point (L, L') passe au point (K, K'), et par suite (L, L') est un point limite de la courbe d'ombre, lorsque le point lumineux est (K, K'). Si l'on suppose que le point lumineux, d'abord placé en (K, K), tourne autour de l'axe, le point limite (L, L') sera transporté sur son parallèle d'un même mouvement, c'est-à-dire en décrivant un arc d'un nombre égal de degrés. Quand le point lumineux arrivera en (S, S'), le point (L, L) se trouvera sur une droite symétrique de OK par rapport à OS et qui sort du cadre de la figure, liomme d'ailleurs la courbe d'ombre est composée de deux parties symétriques par rapport au plan vertical OS, si nous ramenons le point L sur OK par un arc de cercle, nous aurons un point limite (G, G'), qui nous aurait été donné directement si nous avions considéré la deuxième asymptote de l'indicatrice du point (L,L').

L'horizontale du point S' rencontre la courbe d'erreur en un second point {k,k'), qui fait trouver un autre point limite [g, g'). La courbe (Aa, X'a) se compose par conséquent de deux arcs réels (AG, A'G') et [ag, a' g'), et d'un arc virtuel {(^ug, G'u'g') ('). Les rayons de lumière qui aboutissent aux points

(') Il sera facile de comprendre la disposition des ombres sur le tore, quand nous aurons discuté la courbe d'ombre poçtée (art. 903 et 90-1).

La construction que nous avons donnée pour la détermination des points limites à l'aide d'une courbe d'erreur se trouve dans la Stcréotomic de Lerov.

nilAPITliK m. TIIKiiKKMK DES TANGENTES CONJl GLEES. 7 >

(G, G') et [g, g') i-Ioivciit ("'tro tangents à la courl)e sur rliacunc des projection;-. Ceux (jui vont aux points (//, u) et (U, U') sont tangents à la courbe d'ombre sur la projection horizontale, mais cela tient à ce que les plans tangents au tore en ces points sont verticaux (art. 892 \

8î)j. La section du tore par un plan langent en un point du cerclf de gorge O 1) a deux axes cjui se croisent au point de contact {fig. S.iy); l'un est vertical et l'autre horizontal. Il résulte de là que chacune des branches qui passent au point double y a une inflexion ( ' , et par suite (|ue les asymptotes de l'indicatrice sont entièrement extérieures à la surface (art. 797^. Lorscjue le point lumineux est sur une de ces droites, les points limites (G, G') et (^, g'), qui sont ordinairement l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan J'O T, sont réunis dans ce plan, et la partie virtuelle comprise entre eux a une loniiueur nulle.

Il résulte de ces considérations que, quand le point S s'élève, les points k' et k' se réunissent sur la verticale du point D' en un point T où la tangente à la courbe d'erreur est horizontale. La courlte d'ondire propre a deux points limites on n'en a pas, suivant que S' est au-dessous ou au-dessus de T.

La construction que nous avons donnée pour les points de la courbe d'erreur n'est pas immédiatement applicable au point T; mais, en rendant le plan tangent au tore au point D' parallèle à l'un des plans de projection, on peut y placer sans difficulté les asymptotes de l'indicatrice, et déterminer leur intersection avec celles des génératrices du cylindre OS qui sont projetées sur D'T. Nous donnerons plus loin une construction analogue à celle (jue nous venons d'indiquer (art. 899).

La courbe d'erreur est composée de deuK parties symétriques par rapport à l'axe O'D'I' : nous n'avons représenté que l'une d'elles. Il n'entre pas dans notrt; cadre de discuter les dilFérentes formes de cette courbe, ni d'examiner les particularités que présente la surface gauche, lieu des asymptotes des indicatrices du tore aux différents points de la méridienne.

896. La construction que nous venons d'expliquer permet de déterminer les points limites des arcs réels de la courbe d'ombre propre de toute surface de l'évolution dont on connaît la méridienne. Si cette ligne est une courbe grapbique, on déterminera ses rayons de courbure aux divers points considérés par la méthode de l'article lOÔ.

On peut prendre pour courbe d'erreur l'intersection de la surface gauche, lieu des asymptotes des indicatrices, avec le plan horizontal du point (S, S); les points de cette ligne, qui se trouvent à la même distance de l'axe ([ue le point S, sont précisément (K, K) et (X-, k').

897. Le cône circonscrit a des rebroussements le long des génératrices

(') Nous avons déjà démontré ;\ l'article 876 l'existence de cette double infiexioii.

(SG, S'G') et (Sg; S'g'). Pour les rendre apparents, nous avons construit la trace PEep de ce cône sur le plan horizontal XY.

Nous savons que le plan de rebroussement du cône le long de la génératrice (SG, S'G') est le plan osculateur de la directrice (AGa, A'G'm') au point (G, G') (art. 216). Ce plan touche le tore au point (G, G'), car il appartient à la série des plans tangents communs au tore et au cône circonscrit. La tangente EH au rebroussement E est donc la trace, sur le plan XY, du plan qui touche le tore au point (G, G'), et par suite elle est perpendiculaire à la trace OK du plan méridien de ce point. La tangente eh est perpendiculaire à Ok.

898. Déterminalion des points limites de la courbe d'ombre propre d'une surface de révolution éclairée par des rayons parallèles. — Quand les rayons sont parallèles, les constructions que nous avons expliquées à l'article 894 ne sont plus applicables, parce que la courbe d'erreur s'éloigne à l'infini. Alors, pour déterminer les points de la méridienne principale où une des asymptotes de l'indicatrice a la même inclinaison que les rayons de lumière, on construit le cône directeur de la surface gauche lieu de ces asymptotes; on cherche quelles sont les génératrices du cône qui ont la même inclinaison que les rayons, et ensuite quelles sont les génératrices de la surface gauche qui leur correspondent.

Considérons le tore engendré par la révolution du cercle PQ autour de l'axe (0, O'Z) [fig. 359), et supposons-le éclairé par des rayons parallèles à la droite R située dans le plan vertical : nous construisons les droites (MV, M'V), (MV,, M'V), asymptotes de l'indicatrice d'un point (M, M) de la méridienne; par un point L choisi arbitrairement sur l'axe pour être le sommet du cône directeur, nous leur menons des parallèles (OB, LB'), (OB,, LB'), et nous déterminons les traces B et B, de ces génératrices du cône.

Au point (31, m') les asymptotes de l'indicatrice sont (MY, m'v')Gi{l\Y\\,Tn' v') : les génératrices du cône qui leur sont parallèles ont leurs traces aux points èetè, symétriques de B et de B, par rapport à la droite OF; cette ligne est donc un axe de la trace du cône. La droite OH en est aussi un axe.

Quand le point M' arrive en P sur le parallèle supérieur, les deux asymptotes de l'indicatrice se confondent en une seule droite perpendiculaire au plan vertical; il en est de même quanti le point M' se trouve en Q. 11 résulte de là que chaque partie de la trace s'étend à l'infini, des deux côtés du point F et des deux côtés du point F,.

899. Les rayons de courbure au point E sont El et EO'. Si l'on prend le point 0 pour centre de l'hyperboloïde osculateur, cette surface sera de révolution autour de la verticale O'Z, et son demi-axe non transverse aura la longueur EU de la moyenne proportionnelle entre El et EO'. La droite OU est donc la projection d'une génératrice de l'hyperboloïde parallèle au plan vertical; on peut la regarder comme une asymptote de l'indicatrice du point E, qui a tourné de