CHAPITRE l'UEMIER

THÉORIE GÉNÉRALE

Définition de F hélice. — Projection de cette coiirhc sur un plan

parallèle à son a.ve.

1)49. On ap|U'lle lic/ice une conrbe tracée sur un cylindre de révolution, et qui en rencontre toutes les içénératrices sous un même angle. Lorsque le cylindre est développé, les génératrices sont des droites parallèles, et la transformée de l'hélice les coupant sous un angle constant est nécessairement une droite. Réciproquement, toute ligne du cylindre dont la transformée est rectiligne ren<'ontre les généi'atrices sous un angle constant, et par suite est une hélice.

Lorsque l'on développe la surface, un cercle de section droite AE [/ig. 370) et une hélice AG deviennent des droites (':; la ligne Aa décrite par leur point d'intersection A est par suite une développante commune de ces courbes (art. 485).

L'arc AP et le segment PM compris sur une génératrice entre la section droilt' et l'hélice deviennent, après le développement, les coordonnées ap et pr/i du point m de la transformée rectiligne où s'est placé le point M. Nous en concluons ([ue, pour une hélice, les ordonnées rectiligncs sont proportionnelles cntx abscisses curvilignes, mesurées sur une section droite à partir du point où les courbes se rencontrent.

On voit encore, en considérant une tangente aG, que la sous-tangente «E est égale à l'ahscisse curviligne AE du point de enntacl G.

Deux points A et A,, dont les abscisses diflerent d'une circonférence, sont sur

(') La ^g. 3-0 est une perspective axonométriqiio dans laquelle les deux axes horizontaux sont également inclinés sur le plan de projection, et qui par conséquent est du nombre de celles que l'on appelle moriodimélrir/iies (art. 306).

ii(3 i.ivni; i\. — scnKACES nÉLicoinKs,

une même génératrice. Leur distance est \e pas de l'Iiélice. L'arc A.MGA, compris entre eux forme une spire. L'axe du cylindre est souvent appelé Vare de riiélice. En désignant par /■ le rayon du cylindre ou la distance des points de l'hélice ;i l'axe, / la longueur d'une spire, H le pas de l'hélice, et [j l'angle (]ue forme la courbe avec une section droite, ou le complément de celui sous le([ucl elle rencontre les génératrices, on a

(i) /-^ILcotj^i, /sin,'i = H.

9dO. Nous aurons souvent à considérer la longueur^; nous l'appellerons le pas réduit de l'hélice, et nous la représenterons par/;; d'où

Nous aurons alors

[ihis) r=z/icotli. /s\nft = -in/t.

Le pas réduit est le rapport de l'ordonnée rectiligne PM d'un point M de l'hélice à son azimut AOP; c'est aussi le ravon de la circonférence dont la longueur est égale au pas. On construit le pas réduit en le considérant comme le quatrième ternie d'une proposition dont les trois premiers sont successivement une circonférence rectifiée, son rayon et le pas de l'hélice. Quand le pas d'une hélice sera donné, nous supposerons toujours que le pas réduit est connu, et réciproquement.

9ol . Pour construire la projection verticale d'une hélice située sur un cylindre vertical donné, lorsque l'on connaît son pas et l'un de ses points (A, A'), on partage le cercle de section droite AB {Jig. S^S), qui est la projection horizontale de cette courbe, en un certain nombre de parties égales, douze par exemple, en prenant le point A pour un des points de division; on mène par ces dilTérents points des perj>endiculaires à l'horizontale XY du point A'; on porte un douzième du pas au-dessus de XY, sur la première de ces droites à partir de la trace ou origine A, deux douzièmes sur la seconde, et ainsi de suite. On obtient de celte manière treize points par spire.

Sur i'àjig. 373, l'origine donnée A est sur le diamètre du cercle qui est perpendiculaire à la ligne de terre. Cette circonstance introduit dans les constructions une symétrie qui les rend plus faciles.

La tangente à l'hélice en un point [n, n') a sa trace horizontale a sur la tangente au cercle AB au point n, à une distance de ce point égale à la longueur rectifiée de l'abscisse curviligne A« (art. 919). La détermination de ce point permet