CHAPITRE I. — TIlÉOrUE GENERALE. I

(le conslruiie hi projection verticale a' «'de la tangente. Le lieu des traces des tangentes forme une développante du cercle AB.

9o2. Il est facile d'obtenir l'équation de la projection verticale A' A" de l'hélice [fig- 373). Si nous appelons 3 l'ordonnéep/n' d'un point {m, m') de l'hélice, nous aurons

z = X-arcA/«,

X- étant un coefficient constant. L'abscisse a- du point /«' étant la longueur X'p égale au sinus de l'arc \in dans le cercle AB, dont nous désignons le rayon par /-, nous obtenons

Ces deux équations donnent

X = rsin — ■ /■

j- = rsin 7— • kr

Pour avoir la valeur de k en fonction du rayon /• et du pas H, nous remarquons que, quand l'abscisse est /•, l'ordonnée - est le quart de H. On a donc, en vertu de l'équation précédente,

/• = r^wv-TT- > a ou k ^ - , likr r

et par suite l'équation de la courbe devient

(3) a,- = /-sin|-

On voit que la projection d'une hélice sur un plan perpendiculaire à son axe est une sinusoïde (art. 117).

9o5. Un arc croit plus rapidement que son sinus; par conséquent, à partir de l'origine A', l'ordonnée :; croît plus rapidement que l'abscisse x, et, d'un côté comme de l'autre, la courbe tourne sa convexité vers la ligne de terre : elle a donc une inflexion en A'. Ou arrive au même résultat, soit en faisant le développement du cylindre sur le plan tangent eu A', soit en s'appuyant sur le théorème démontré à l'article 474. Par la première manière, on voit que les points de la sinusoïde situés de part et d'autre de la ligne de terre se transportent de différents côtés pour se rendre sur la tangente en A'; [)ar la seconde, on remarque que, l'hélice ayant pour transformée une droite, son plan osculateur est toujours normal au cylindre, et que par suite au point A' il est perpendiculaire au plan vertical.

Nous voyons, par cette dernière considération, que la normale principale d'une hélice en un point (A, A') est la perpendiculaire ( AO, A] abaissée de ce point sur l'axe.

, i^ LIVRE 1\. - SLlîFACES HÉLICOIDES.

/^idjcctiuji oblique d une Jiclice sur un plu/i perpendiculaire à son (/.ve.

i)oi. Si un cercle horizontal AB {/ig. 3-]^) tourne autour de son centre 0, et >"élcvo en même temps de manière que ce centre parcoure une verticale (0, A' A"), ces deux mouvements étant d'ailleurs uniformes, un quelconque de ses points tel <|ue (A, A') décrira une hélice. Toute hélice peut être considérée comme engendrée de cette manii're.

Supposons ma in tenant que le cercle mohi le soit éclairé par des rayons parallèles il une droite ^R, R) : son ombre sur le plan horizontal sera le même cercle AB qui tournera autour de son centre 0, pendant que ce point s'avancera sur la droite Oar parallèle ;lR.

Lorsque le cercle AB aura achevé une révolution en s'élevant, l'onihre 0, de son centre sera parvenue en D, et le point de contact du cercle d'ombre avec la droite Aa parallèle à R aura atteint la position C, après avoir décrit sur le cercle la circonférence entière et sur la droite le segment AC. Eu égard aux sens des mouvements, si ces longueurs sont égales, c'est-à-dire si l'on a

le cercle d'ombre aura roulé sans glisser sur la droite A«. Quand cette condition est remplie, l'ombre que projette sur le plan horizontal l'hélice engendrée par le point (A, A') du cercle est la courbe décrite par le point A de la circonférence AB, lorsqu'elle roule sur la droite Aa.

Nous appelons 7 l'angle que les rayons de lumière font avec le plan horizontal, /•le ravon du cercle AB, et H la hauteur qui corres[)ond à une révolution, ou le pas de l'hélice (AB, A' A") : l'équation ci-dessus devient

Hcoty = 2-/-;

un. en introduisant le pas réduit /i,

h coty = /'.

lin se repoitantà la première des équations(i 6w), on voit que la condition consiste en ce (|ue les layons doivent avoir la même inclinaison sur le plan horizontal que les tangentes à l'hélice.

On appelle cycloïde la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule sur une di-oite sans glisser; nous pouvons donc énoncer ainsi le théorème que nous venons de démontrer : La projection oblique d'une hélice sur un plan perpendiculaire à son are est une cycloïde, lorsque les projetantes ont la même inclinaison sur

CllVPlTUK I. — THEORIE GENERALE. I i()

re plan que les tangentes à l'héliee. On voit encore que toute eychnde est l'onihre d'une hélice pour une direction donnée de rayons parallèles.

Une cycloïde AC a des rebrousscments aux points A et C, où elle renconire la droite de roulement Art, car ces points sont les ombres de ceux de l'hélice oii la tangente est parallèle aux rayons de lumière (art. 217).

953. Quand les rayons de lumière ont une inclinaison dillérente de celle des tangentes à l'hélice, on peut déterminer sur le rayon OA [fig. S^j) une longueur OP ou g qui satisfasse à l'équation

g = hcoly.

Le point P, étant entraîné dans le mouvement du cercle, engendrera unehélice dont l'ombre sera la cycloïde décrite par le même point P, lorsque le cercle dont le rayon est OP roule sur sa tangente Pp. Les cercles AB et PK étant d'ailleurs supposés former un système invariable, on voit que l'ombre de l'hélice décritepar lepoint Aestla courbe que ce même point engendre lorsque le cercle PK roule sur sa tangente P/v.

Quand un cercle roule dans un plan sur une de ses tangentes, la courbe décrite par un point du plan entrainé dans le mouvement est appelée cycloïde raccourcie ou cycloïde allongée, suivant que le point est dans l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. Nous pouvons donc dire que la projection ohli<pie d'une hélice sur un plan perpendiculaire à soit axe est une cycloïde raccourcie ou allongée, suivant que les projetantes sont plus ou moins inclinées sur ce plan que les tangentes à l'hélice {').

Pour construire le rayon g du cercle générateur, nous prenons une hauteur A" G égale au quart du pas A' A", puis menant du point G une horizontale et du point A" un rayon de lumière A"C', nous obtenons le segment GI' égal à jHcoty. Nous portons sur la tangente Bb une longueur HJ égale au quart de cercle BE : l'angle BOJ a pour tangente ^7:. Nous projetons 1' en \, et I en K : le segment OK est le rayon cherché. La grandeur de l'angle BOJ est 57°3i'6". Cette construction revient, en ce qui concerne le pas réduit h, aux tracés indiqués à l'article l)oO, mais nous n'avons opéré que sur le quart de la circonférence et le quart du pas.

Quand les projetantes sont verticales, le rayon OP du cercle mobile est nul, et la cycloïde allongée se réduit au cei'cle AB.

(') Ce théorème et le précédent sont dus à Guillery. t'oir une communication de Th. Olivier à la Société Philomathique, 1847.

[2(1 ' I.IVm: I\. — SLHKACES IIÉUCOIDES.

Sitrfdccs livlicuidcs. — IJclivoidcs rcglv.s.

9l>(>. Ou appelle surface hclicoîilale. ou simplement liélicoïde. la surface lieu des iiélices qui ont uu axe commun et un même pas, et qui passent par les différents points d'une directrice. On peut regarder cette surface comme engendrée par la directrice qui tourne autour de l'axe d'un mouvement uniforme, et qui a en même temps un mouvement uniforme de translation parallèle à la direction de cette droite; car, si l'axe est supposé vertical, les augmentations des hauteurs des points de la courbe sont proportionnelles aux accroissements de leurs azimuts; ces points décrivent par suite des hélices ayant un axe commun et un même pas : on dit qu'ils ont un même mouvement lièlicoule.

Nous voyons que la courbe que nous avons prise pour directrice peut être considérée comme une liénératrice. Elle est appelée méridienne (juand elle est plane et que son plan rnn tient Taxe. Un hélicoïde est déterminé quand on connaît l'axe, le pas des hélices et une directrice.

Lorsqu'une surf\ice se meut de manière que ses différents points décrivent autour d'un axe des hélices de même pas, son enveloppe est un liélicoïde, car deux enveloppées consécutives ont toujours les mêmes positions relatives, et par suite la caractéristique est une courbe déterminée et invariable sur l'enveloppe.

Une surface hélicoïde est coupée suivant des hélices par (ont cylindre de révolution ayant le même axe qu'elle.

DjT. Lorsque la directrice que doivent rencontrer les hélices est une droite (BC, B'C) {fig. 376), cette ligne pouvant être considérée comme une génératrice, la surfiice est un hclicoïde réglé. L'hélice qui passe au pied (A, A') delà commune perpendiculaire à la génératrice rectiligne et à l'axe est appelée hélice de gorge : sa distance à l'axe est la plus petite, et par suite l'angle de ses tangentes avec le plan horizontal est le plus grand.

Si l'on considère sur la génératrice un segment déterminé B'C, et qu'on mène par le pointe une verticale et parle point B' une horizontale, on aura un triangle rectangle C'C'i B' qui sera le même dans toutes les positions de la droite (BCB'C), car les points de cette ligne s'élevant de quantités égales, le cùté CC, conservera la même longueur. L'angle C'B'C'i que la génératrice forme avec le plan horizontal est donc constant, et par suite le cône directeur d'un hélicoïde réglé est de révolution .

9o8. En tout point de la surface il passe une hélice; le plan tangent contient la tangente à cette courbe et la génératrice. En un point (M, M') [Jig. 37G) la tangente à l'hélice a pour projection horizontale la perpendiculaire 3IT au rayon O.M; le plan tangent contient donc deux dioites dont les projections liori-

CIIM'ITIUC I. - THÉORIE GÉNÉRALE. 12 1

zontales MT et BC sont ilifTéroiilcs, et par suite il n'est pas vertical. Au point (A, A') la tangente à l'hélice et la génératrice se projettent sur BC ; par conséquent, si ces droites sont distinctes dans l'espace, le plan vertical BC sera tangent en (A, A'), et l'hélicoïde aura deux plans tangents différents aux points (A, A') et (M, M) d'une même génératrice; cette surface sera donc gauche.

On a un hélicoïde dèveloppable lorsque la génératrice est tangente à l'hélice de gorge, car la surface est alors le lieu des tangentes à une courbe gauche. Pour que cette circonstance se présente, il faut que l'on ait

h cols: = b.

Il étant le pas réduit commun des hélices, a l'angle de la génératrice avec le plan horizontal et h le rayon du cylindre sur lequel l'hélice de gorge est tracée (').

Liiruc (le striction de l' hvlico'uk' gauche. — Paramètre d'une irénératriee.

9ri9. Nous savons que le plan tangent à une surface gauche, en un point situé il l'infini sur une i;énéi'alrice donnée, est parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice correspondante : art. Gl.'i . Cette proposition va nous permettre de déterminer le point centi-al d'une génératrice d'un hélico'ide gauche.

Soient (0,0'Zi l'axe de la surface {fig. 377), (EF, E'F) l'hélice de gorge et ( AG, A' G') une génératrice parallèle au plan vertical : nous prenons le cercle EF pour trace horizontale du cône directeur, et nous déterminons la position S que le sommet de ce cône occupe sur l'axe, en menant la droite ES parallide à GA'.

t'j Dans un .Mémoire i-iu- les hélir.iMdes réglés {Bulletin ilr l'École île Cliiiir, iS;; 1. j'ai proposé, pour la brièveté, de remplacer les expressions surface de Ut vis h filets triangulaires, surface de la vis à filas carrés, par celles-ci, liélicaïdc ai^u, hcliruide droit. M. Jules de la Gournerie m'a exprimé l'intention de modifier la première de ces dénominations, et de les généraliser.

Soient une hélice directrice d'un liélico'idc réglé, d'axe OZ; la tangente CB à l'hélice en un de ses |)oints C; une génératrice CA de l'hélicoïde, CA étant située dans le plan tangent P en C au cylindre sur lequel est l'hélice; par suite celle-ci est ïlicUce de ^or^e ; nous nommerons le cylindre qui la contient cylindre itc gnrge. Appelons ; l'angle de CA a\'ec CB.

Lorsque : est nul, l'hélico'ide engendré est l'hélicoïde dércloppnble.

Supposons que CA tourne autour do C dans le plan P; dans une position, C.V est perpendiculaire à CB, cl dans une autre, à OZ; d'où il résulte trois espèces d'hélico'idcs réglés que nous proposons de nommer hélicoïde général oblhiue, hélicoïde ge'/iéral droit, hélicoïde général h plan directeur.

Lorsque le rayon du cylindre de gorge devient nul, le premier est la suifme de lavis èi filets irinngulaires. les deux autres donnent la surface de lu vis /i filcls carrés. Ces deux, dernières expressions pourraient donc être avantageusement rem[ilarées par les dénominations suivantes : hélicoïde obli'iuc, hélicoïde rlroH. (E. L )

m. — Dr. LA GoiBNtiiiF.. — Dcscriptirc. l6

122 LIVRE I\. — SURFACES UÉUCOIDES.

Le plan vertical AG est perpendiculaire au plan lanp:ent au conc le long de la droite (EO, E'S), parallèle à la génératrice considérée de Fliélicoïde, et par suite il est le plan central de cette génératrice (art. 622); mais nous avons vu qu'il touche la surface au point (A, A') de l'hélice de gorge : le point central (Vime génératrice est donc le point où elle rencontre l'hélice de gorge, et cette courbe est la ligne de stiiction de la surface.

960. Proposons-nous de déterminer le paramètre de la génératrice (GA,(J' A')

[fis- '"^ll)-

En appelant k\ ce paramètre, p la distance de la génératrice considérée à la

génératrice voisine, et a l'angle de ces droites, nous avons (art. 623)

PuisqueJ'hélice de gorge est la ligne de striction, si l'on prend sur celte courhe une longueur A! m' infiniment petite, le point m' sera le point central de la génératrice voisine de (GA, G'A'). On peut regarder ce point comme étant dans le plan vertical AG, car il n'en est éloigné que d'une longueur infiniment petite du second ordre. La longueur/» est donc la perpendiculaire abaissée du point ni sur la eénératrice A' G', et l'on a

p = A' m' sin?»' A'// ;

ou bien, en désignant par a. et jS les angles que la génératrice et la tangente à l'hélice font avec le plan horizontal,

P= ^^sin(/3 — a).

■' Slll[it ^' • '

Pour avoirs nous allons considérer sur le cône directeur les deux génératrices respectivement parallèles à celles de l'hélicoïde qui passent aux points (A, A') et [m, /II'). La première est (EO, E'S), et nous obtenons la projection horizontale de la seconde en traçant le rayon 0/ parallèle à la tanj^ente /«T. Nous avons alors

^ = li' •'""" '^ = §l'^<^''

et enfin

(7 = EO/cosa.

En portant dans l'expression de X', les valeurs que nous venons de trouver poui'

p et 7, on obtient

, sin(i3 — g) AV/

CllM'ITIii; 1. - THÉORIE GÉNKRVLE.

Mais EO; est l'angle doiU cIukihc point de la génératrice tourne autour de l'axe, pendant qu'il s'élève de la hauteur AV/; on a donc

EOt

et par suite

//\ I li tnnga\

Nous avons d'ailleurs la rtdation (art. 9o8)

(5) tang,S = ^;

la formule (4) peut donc être remplacée par une des suivantes :

(6) X-, = h — Z^tangy,

(7) /(■, = i;tang,'i- tanga).

Nous savons que la surface est développable quand les angles « et p sont égaux (art. 958); la tormule donne alors pour /•, une valeur nulle, comme cela devait être.

Les valeurs de /;, h, y. et jS sont constantes pour un liélicoïde, et par suite toutes les génératrices ont le même paramètre. 11 était facile de prévoir ce résultat, car deux génératrices consécutives ont toujours les mêmes positions relatives.

901. Les équations (4), (6) et (7) donnent simplement la grandeur absolue du paramètre, car nous n'avons fait aucune convention sur les signes des quantités qui entrent dans les seconds membres, et, en raisonnant sur \'a fig. 377, nous les avons toutes indistinctement considérées comme positives. Nous allons présenter sur ce sujet quelques observations, qui n'offrent aucun intérêt pour les constructions que l'on déduit directement de la considération des bélicoïdes, mais qui sont indispensables pour l'interprétation des formules.

Lorsque le point qui décrit une hélice s'élève, il tourne vers la droite ou vers la gauche d'une personne qui serait placée sur l'axe du cylindre et qui regarderait ce point. L'hélice est dextrorsum dans le premier cas et sinlstrorsum dans le second. Nous avons en général représenté les hélices sinlstrorsum, parce que ce sont celles que l'on trouve dans les vis qui sont le plus souvent employées.

Nous mesurerons les ordonnées positives de bas en haut et les azimuts positifs de droite à gauche, de manière que Tazimut du point A {fig. 377) soit donné par l'arc EA et égal à -4- 90". Alors le pas, ou la hauteur dont le point (]ui décrit

ra^ i.iviîK i\. - SI lu Acios hélicoidf.s.

la coiiihe s'élôve lorsque son azimut au^nicnti- de + 3Go", es( posilifou négalif suivant que l'Iiélice est sinistrorsuui ou dexlrorsuni.

Nous considérerons en général le rayon b comme positif et col,''i comme avant le même signe que le pas: la formule (^i = /icot,'i) sera ainsi maintenne sans altération. Enfin cota anra le même signe que cot^ on un signe contraire, suivant que les angles aigus formés par l'hélice de gorge et par la génératrice avec le plan horizontal seront ou non tournés d'un même coté. Lorstjue, pour généraliser les résultats d'une formule, nous donnerons au ravon h une valeur négative, la valeur correspondante de cot/3 devra avoir un signe contraire à celui du pas.

D'après cela, et eu égard à la disposition de h //g. 877, les quantités b, /i, cota et cotjj sont positives.

Si h était nul, la formule (G) donnerait pour /•, une valeui' négative, mais alors la surface serait un hyperboloïde de révolution, et la génératrice (AG, A'G') se trouverait dans la même position que la génératrice {ac, ci'e') de la /ig. h 2. Or nous avons vu à l'art. 121 que le parami'tre de celte dernière est positif : la formule (G) donne donc à X-, un signe contraire à celui qui résulte de nos conventions. Nous devons par suite considérer k, comme une quantité égale au paramètre, mais de signe contraire, et si nous appelons /■ ce paramètre luimême, nous aurons

(G bis) A- = blungx — h,

'jbis) X- = Z'(tanga — tang|'5).

Par le point E' (Jig. 377), nous traçons une droite EL parallèle à K'A' : le paramètre k est égal au segment LS que l'on considérera comme ayant son origine an point L, et qui, étant dirigé de haut en bas, sera négatif.

Hélicoides réglés applicables les uns sur les autres.

902. Nous supposons qu'on fasse varier a, b et //, et nous allons chercher les relations qui doivent exister entre ces trois quantités pour que les hélicoides (|u'elles déterminent puissent être appliqués les uns sur les autres.

Il faut d'abord que le paramètre des génératrices ne change pas (art. 775); on doit par suite considérer la quantité X- comme constante dans les équations qui précèdent.

Il faut encore que, lorsque l'on aura placé deux hélicoides de manière qu'ils se raccordent le long d'une génératrice, et que l'on déformera le second, les éléments successifs de sou hélice de sti'iction viennent se placer sur l'hélice de

cnvPiTiu; I. - TiiKOKii: gi;neiîali:. i2,>

stiiclion du premier. Cela exige que l'angle de cette ligne avec les génératrices. qui est égal à (a — fi), soit le même dans les deux surfaces. Par conséquent, si l'on appelle -=. un angle constant quelconque, on doit avoir

c/. — fi = £.

En portant la valeur (x — s) de /3 dans les équations (4 bis), (.5) et [j bis), on obtient

langa cot(a — z) — I 9) b = luio{[x — z),

langa — tang(a-

Ces trois équations n'en forment que deux réellement distinctes.

Si l'on fait varier a entre (s -1- 90°) et (s — 90°), les équations (8) et (10) donneront les valeurs correspondantes de A et de b, pour des grandeurs données des constantes ^- et e; et l'on aura une série complète d'hélicoïdes gauches pouvant être appliqués les uns sur les autres.