Les systèmes suivants méritent d'être remarqués

1° c/.=^i, A = o, /^--X-cotî;

3° a = o, /< =: — A-, b — k cote ;

Dans le premier cas, la surface devient un hyperboloide gauche de révolution. Dans le second, l'hélice de striction se réduit à l'axe. Dans le troisième cas, les généi'atrices sont toutes parallèles à un plan perpendiculaire à l'axe : l'hélicoïde est donc un conoide; il a le même pas que la surface précédente, et son rayon est égal à celui du cercle de gorge de l'hyperholoïde.

Enfin, la surface n'existe pas quand les génératrices sont parallèles à l'axe. Le résultat que les formules donnent dans ce cas indique que, quand a approche indétiniment de 90", le pas réduit h et le rayon b convergent vers zéro.

Dans le cas particulier où z est égal à — 90°, la seconde surface se confond avecla troisième, et la série comprend un hélicoïde dont les génératrices rectilignes rencontrent l'axe à angle droit. L'hyperholoïde est alors réduit h l'axe, et ne présente plus (ju'une limite.

96i. Pour avoir la relation qui existe entre b, h et les constantes du [)ro-

I 2G UVIil'; I\. - SURFACES HÉLICOIDES.

hli'nie, il i'aiit éliminer a entre les équations (9) et (10). En taisant d'aburd disparaître l'angle (a — s), on obtient

L'équation (9) peut être mise sous la forme suivante :

(/( tangE — b) tanga -+- b tange -t- h = o. L'élimination de a entre ces deux équations donne (il) b- + Ir — k cot s . /> + kh = o.

Si l'on considère b et h comme des coordonnées rectangulaires variables, cette équation représentera un cercle.

Nous traçons deux axes rectangulaires OB et OH {Jîg. 384); nous prenons sur le second une longueur OK égale à — k, et nous menons la droite KA (|ui rencontre OH sous un angle OKA complémentaire de i : le cercle passant par les points A, 0 et K est celui que détermine l'équation (i i). Une grandeur OB, étant attribuée à b, on trouve, en traçant la droite wB,M parallèle à OH, que les valeurs correspondantes de h sont

-i-B,,M, et — B,m.

Dans le cas particulier où s est égal ;i 90", le cercle a pour diamètre le segment OK.

965. En ajoutant les équations (8) et (lo), après avoir multiplié les deux membres de la première par tanga, nous obtenons

h tanga + b= , ^ — —"^^ -^ + ; ~ r ;

^ tanza — tang(a — s) tanga — tang:(oi — s)

b ri- h tanga = Xcots;

d'où

k cot t — b fang«= ^

Si nous remplaçons les différentes quantités du second membre par leurs grandeurs |)rises sur \a fig. 38 '|, en supposant //égal à OB,, nous aurons

OA — Oli, , 0A-0I5,

tan 2; a = — rm — ' tanga = r-,

Traçons les droites MA et fiiX : l'équation que nous venons de trouver montre