CHAPITRE I. - THEORIE GENERALE

<{ue les valeurs de x qui correspondent à la grandeur OB, de h sont B,MA et (i8o" — B,/«A) ou H,AM et H,Aw, la droite AH, étant parallèle à AH. Si le point ^1 était sur l'arc AG, il faudrait considérer l'angle % comme aigu, et prendre la droite AH. pour un de ses côtés.

On peut d'ailleurs faire la construction en ordre inverse, et se donner, au lieu du rayon h du cylindre sur lequel l'hélice de gorge est tracée, le pas réduit /( on l'angle a des génératrices avec le plan iiorizontal. On détermine immédialcment deux quelconques de ces quantités quand la troisième est connue, et l'on a un liélicoïde gauche appartenant à la série générale déterminée par les valeurs deyt et de £. Le cercle OKA donne donc une solution complète du prohlème (').

Les ahscisses des points du cercle les plus éloignés de l'axe OH, et les ordonnées de ceux qui sont le plus loin de l'axe OB, sont les valeurs extrêmes de h et de h. On reconnaît ainsi que le pas réduit h et le rayon b ont l'un et l'autre un maximum positif et un maximum négatif, et l'on a un moyen facile de déterminer les grandeurs de la variahle y. qui leur correspondent.

D'h'cloppable asymptote d'iui hélicoidc gauc/ie.

966. Considérons deux hélicoides gauches ayant un même axe, un même pas, et dans lesquels les génératrices AG et A, G, , parallèles au plan vertical, ont une même projection A'Ç,' {fig. SjS). Le plan (G, G', G' A'), qui contient ces deux droites et qui est perpendiculaire au plan central de chacune d'elles, touche les deux hélicoides au point inliniment éloigné où elles se rencontrent. Si les deux génératrices se transportent d'un même mouvement pour décrire les hélicoides, leur plan sera toujours tangent à l'infini à ses surfaces, et par suite elles se raccordent le long d'une hélice tracée sur un cylindre d'un rayon infini.

n suit de là qu'en faisant varier le rayon de l'hélice de gorge d'un hélicoïde gauche, on peut obtenir une série d'hélicoïdes réglés, tous asymptotes les uns des autres; mais l'un d'eux est dévèloppaltle, car, lorsque le rayon variable est égal à la longueur /• déterminée par l'équation

r =■ h cola,

la génératrice, qui fait toujours avec le plan horizontal l'angle x, est tangenle à l'hélice de gorge. Cet hélicoidc est la développabic asvmptote de tous les autres.

On peut obtenir le rayon /'par une construction analogue à celle qui est expliquée il la tin de l'art. 9o3.

(') Cette construction élégante a été donnée par Bour dans son Mémoire sur la déformation des surfaces.

128 LIVIiK I\. - SUliFACKS HÉLICOIDES.

Hi'lices doubles de Vlivlicoidc rés/r.

y(>7. Soient BC et \i,C, {/ig- 385) les projections horizontales de deux génératrices, et 27 l'angle AOA, : la hauteur du point A, au-dessus du point A est ■2-h ; le point I, considéré comme appartenant ii la droite BC, est élevé au-dessus du point A d'une quantité ètangrtangx, hei y. désignant, commeprécédemment, la distance de la génératrice ;i l'axe et son angle avec le plan horizontal. Il snil de là que si l'on a

Tk — h tangT tanga = o,

les deux génératrices BC et B,C, se couperont dans l'espace.

On peut déterminer graphiquement les valeurs de t qui satisfont à cette condition, en cherchant les points de rencontre des courhes représentées par les équations

p = t/(, [j =; tangr tangx,

p et T étant des coordonnées polaires ou des coordonnées rectilignes. Il y a une infinité de solutions.

On peut supposer que la droite BC et les diverses génératrices qu'elle rencontre sont entraînées dans l'espace d'un même mouvement hélicoïde, de manière qu'elles décrivent toutes la surface; le point I et les autres points de rencontre engendreront alors des hélices douhles. On voit ainsi que les nappes de la surface se coupent suivant une série indéfinie d'hélices.