CHAPITRE II

UÉLICÛIDE DÉVELOPPABLE.

C \>ii.sidcrati()us générales.

908. Un hélicoïde développable est déterminé quand on connaît l'hélice arête de rebroussemenl : sur \'A fîg. '^79 l'arc considéré de cette courbe est (AB, A'B'). La trace horizontale de la surface, lieu des traces des tangentes à l'hélice, est la développable Xgcb du cercle AB : lorsqu'elle est construite, on ol)lient avec précision la position des diverses génératrices. Nous en avons déterminé deux

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(G^-, G'^i;'), [Bb, B'b') parallèles au iilaii vcM'tical, et une troisième [Ee, E'e') dans une situation quelconque.

Nous savons construire le cône directeur d'un hélicoïde réglé, et par conséquent nous pourrons déterminer les plans tangents à un hélicoïde développable, et les asymptotes des branches infinies de ses sections planes (art. 470). Nous allons examiner successivement ces problèmes.

Plans tangents.

1)69. Le plan langent à un hélicoïde développable en un point quelconque [n, n") [ftg. 379) est tangent tout le long de la génératrice (Ee, EV) qui passe en ce point; sa trace T^ est donc tangente en c à la développante du cercle trace de la surface, et par suite perpendiculaire à la droite Ee. Il résulte de là qu'une génératrice est la ligne de plus grande pente du plan tangent qui la contient, et que tous les plans tangents font avec le plan horizontal des angles égaux à celui des génératrices avec ce plan. La surface est donc d'égale pente. Nous aurions pu arriver immédiatement à ce résultat en remarquant que le cône directeur est de révolution.

î)70. Proposons-nous maintenant de mènera un Jiclicoïde dè<>'eloppahle au plan langent par un point non situé sur la surface.

Nous nous donnons l'hélicoïde par la projection horizontale ABC de l'arête de rebroussement (//^. 38o), l'arc de développante hgkec trace de la partie considérée de la surface, et une génératrice (Ce, Ce'); le point donné est (F, F').

Nous construisons le cône directeur en plaçant son sommet au point (F, F'}; une de ses génératrices est la droite (F/, F'/') parallide à (Ce, Ce'); sa trace horizontale est le cercle qui a son centre en F et dont le rayon est F/.

Le plan cherché fait avec le plan horizontal le même angle que la droite (Ce, Ce); comme d'ailleurs il passe par le point (F, F'), il est tangent au cône directeur, et sa trace, que nous savons être tangente à la développante hXc, doit de plus toucher le cercle F/.

La tangente commune ee, est la trace d'un plan qui satisfait aux conditions du [)roblème, car les génératrices projetées sur les droites parallèles Ee et Fe, font avec le plan horizontal des angles égaux et dirigés dans le même sens ; elles sont donc parallèles, et par suite le plan contenant la droite ee, et le point (F, F') touche l'hélicoïde le long de la génératrice Ee. Il n'en est pas de même des génératrices projetées sur les droites liW et //, F : elles ne s'élèvent pas dans le même sens, et l'on doit les considérer comme formant avec le plan horizontal des angles supplémentaires. La tangente commune /(/;, ne correspond donc pas à une solution.

La droite gg^ est la trace d'un plan tangent passant pai' le point (F, F'), car lu

m. — Dt LA Guiunlrie. — Descriptive, 1/

I 3o LIVKK I\. - SI lil \CES HELICOIDES.

génératrice ^G touche l'arête de rebroussement au-dessous du |iliiii lioii/.ontal, et se trouve bien parallèle à la génératrice ^iF du cône directeur. La droite », doit être rejetée ainsi (ju'une autre tangente commune qui aurait son point de contact sur la développante près du point A, et que nous n'avons pas tracée par crainte de porter un peu de confusion sur l'épure.

Si l'on a quelque doute sur la position relative, dans l'espace, des deux génératrices F/(| et H/i, on le dissipera en construisant leurs projections verticales.

971. Nous allons maintenant résoudre le problème de mener à un hélicoïde déi,-elopi)able un plan tangent parallèle à une droite donnée (SD, S'D') [fig. 38i et 382). On connaît la trace bXc de la partie considérée de la surface, et l'une des génératrices (eE, e'E').

Concevons un plan passant par la droite (SD, S'D') et parallèle au plan cherclié ; il fera avec le plan horizontal le même angle qne les génératrices de la surface ; il sera donc tangent au cône directeur placé de manière ii avoir son sommet en un point (S, S') de la droite. La trace du plan cherché est par conséquent parallèle à l'une des tangentes D/« et Dn à la trace horizontale du cône directeur; elle est d'ailleurs tangente à la développante ^xVc. Ces conditions déterminent quatre droites : trois d'entre elles gg^, hli^ et ]d\ sont les traces de plans qui satisfont au problème. La quatrième »', est à rejeter, car le plan tangent qu'elle détermine n'est pas parallèle au plan tangent au cône directeur le long de la génératrice S« : les inclinaisons de ces plans sont égales, mais de sens contraire.

Sections planes.

972. Pour construire l'intersection d'une surface réglée par un plan, on détermine les rencontres, avec le plan, d'un certain nombre de génératrices convenablement espacées; les branches infinies correspondent aux génératrices parallèles au plan sécant, et par suite h celles des génératrices du cône directeur qui sont contenues dans un plan mené par le sommet de ce cône, et parallèle au plan sécant.

Soient [fig. 383)

(A//, A'/i') l'hélice arête de rebroussement d'un hélicoïde développable ;

(GB, G'B') une génératrice parallèle au plan vertical ;

AV la développante du cercle trace horizontale de la surface;

(P, P') le plan sécant.

Nous déterminons le sommet (0, S) du cône directeur, lorsque ce cône a pour trace le cercle AB (art. 959), et nous faisons passer par ce point un plan parallèle à (P, P'); sa trace horizontale coupe la trace du cône en deux points m et q\

CIlArUni". II. - IIÉLICOIDE DÉVELOPPABLE. l3l

les génératrices correspondantes du cône sont parallèles au plan sécant : nous considérerons seulement celle qui est projetée sur Orn.

Quand la génénitrice OA du cône prend la position Om, la i;énératrice parallèle BG de riiélicoïde se place en nL et a sa trace en L. Le plan tangent à la surface le long de la droite («L, n'L') a pour trace la droite LH perpendiculaire à //L. L'asymptote, intersection du plan sécant et du plan tangent le long de la génératrice nL, perce le plan horizontal au point H où se coupent les traces de ces plans; elle est d'ailleurs parallèle aux génératrices (Om, Sm') et (nL, n'L') du cône directeur et de la surface; il est donc facile de tracer ses projections HR et HR'.

La droite nL est la projection d'une infinité de génératrices qui ont leurs traies aux différents points où nL rencontre la développante indéfinie AV. A chacune d'elles correspond une branche infinie avec asymptote. La génératrice du cône directeur qui a sa trace en y fait trouver une autre série de branches infinies. On voit donc que, quand l'angle a des génératrices avec le plan horizontal est plus l)etitque l'angle 5 du plan sécant avec le même plan, la section a deux branches infinies avec asymptotes, dans chaque partie de la surface qui correspond à une spire de l'arête de rebroussement.

Si l'angle a était égal à 5, le plan sécant serait parallèle ii une génératrice et au plan tangent le long de cette droite; la section aurait par conséquent des branches paraboliques. Enfin, si a surpassait 5, la courbe n'aurait pas de branche infinie dans la partie qui correspond à une spire de l'hélice; elle se déroulerait iiuléfiniment comme une développante de cercle.

Si l'on suppose que le plan (P, P') se meuve parallèlement à lui-même, l'asvmptote se transportera dans le plan tangent HL, et se confondra avec la génératrice nL quand la trace P passera par le point L. L'intersection se composera alors de celte génératrice qui est sa propre asymptote, et d'une courbe (|Mi la rencontrera tangentiellement au point {n, n') (art. 449).

DTÔ. Seconde mé//>o(le applicable à toutes les surfaces d'égale pente. — Considérons une surface d'égale pente et un plan qui rencontrent respectivement le plan horizontal sous des angles y. et 5. Soient {/îg. 386)

yi la projection horizontale d'un point de leur intersection; MT une génératrice de la développable; P la trace de cette surface ; El celle du plan sécant.

Le plan tangent le long de la génératrice MT a pour trace la perpendiculaire TE à MT (art. 543); par suite la projection de la tangente en M à la courbe d'intersection est EM. D'ailleurs, si l'on abaisse la perpendiculaire Ml sur El, on