LIVRE IX. - SURFACES HÉLICOIDES

aura, en appelant 'Ç l'ordonnée verticale du point M de l'espace,

Ç = MItang5, Ç = MTtanga;

d'où

MT taiige Ml tanga

974. Nous décrivons un cercle d'un rayon quelconque OD {//g. 387); par son centre 0 nous tirons une droite OF parallèle à lE, et nous prenons sur cette ligne un point F tel que l'on ait

OF tangO

(Tn ~ ïângï'

Nous traçons ensuite le rayon OB perpendiculaire à la projection de la génératrice considérée MT, et nous joignons BF : les triangles TMI et FOB sont semblables {fig. 38G et 387), car les angles DIT et FOB sont égaux comme formés par des droites respectivement perpendiculaires (' ), et les côtés qui les comprennent sont proportionnels en vertu des équations qui précèdent. L'angle OFB est donc égal à l'angle ITM et par suite à l'angle lEM, car les angles MTE et MIE étant droits, les points E, T, I et M sont sur une circonférence. Nous voyons donc que la droite FB est parallèle à la tangente EM.

D'après cela, il est facile de construire la projection horizontale de la section et ses tangentes, quand le cercle auxiliaire est tracé et le point fixe F déterminé. Pour avoir le point .M situé sur une génératrice TM, on trace les droites TE et OB qui lui sont perpendiculaires, puis la droite BF : la parallèle à cette ligne menée par le point E est tangente à la courbe au point M où elle rencontre TM. On peut, en faisant la construction en ordre inverse, déterminer le point de l'intersection où la tangente est parallèle à une droite donnée.

Toutes les fois que l'angle Q du plan sécant avec le plan horizontal sera plus grand que l'angle a de la développable, le point F se trouvera en dehors du cercle auxiliaire, et on pourra mener de ce point deux tangentes au cercle. Chacune de ces divergentes sera perpendiculaire au rayon correspondant; la tan- £;ente parallèle EM sera alors perpendiculaire à TE, parallèle à la génératrice TM, et par conséquent asymptote. Quand le point F est dans l'intérieur du cercle, la courbe d'intersection n'a pas de branche infinie, à moins que l'arête de rebroussement de la surface n'en ait elle-même (-).

(•) On place le point F arbitrairement d'un côté ou de l'autre du point 0, sur le diamètre parallèle à lE. La condition de l'égalité des angles LMT et FOB montre de quel côté du centre 0 on doit ensuite tracer le rayon OB.

(2) Cette construction nous a été communiquée parBour pour l'hélicoïde développable. M. Mannheira a remarqué qu'elle s'étendait à toutes les surfaces d'égale pente.

CHAPITKE H. - IIKIJCOIDE DÉVELOPPVBLE. l33

975. Pour appliquer commodément cette construction à l'hélicoïde développable, nous supposons que les plans de projection ont été choisis de telle manière que la trace horizontale EO' du plan sécant (EO', O'M') passe par le centre 0 du cercle OC projection de l'arête de rebroussement {fig. 388), et soit perpetidiculaire à la ligne de terre.

Nous prenons le cercle OC pour cercle auxiliaire; le point fixe F est alors sur la trace O'E du plan. Pour le déterminer, il suffit de tracer la parallèle C'K à la trace verticale CM' du plan sécant jusqu'à la projection O'Z de l'axe, et ensuite la droite KF', faisant l'angle x avec XY : la longueur OF est égale au segment O'F, .

Sur notre figure le point F est extérieur au cercle ; il en résulte que l'intersection a deux branches infinies dans chaque partie de la surface qui correspond à une spire de l'hélice de rebroussement. Les projections des asymptotes sont alternativement parallèles aux tangentes F6 et Fi,. Nous en avons construit deux de chaque série.

Les points tels que n, où les différentes branches de la courbe se coupent, appartiennent aux hélices doubles (art. 9G7).

L'application de ce procédé, à la détermination des sections planes du cône de révolution et des surfaces d'égale pente étudiées dans le VP Livre, donne lieu à des exercices graphiques intéressants.

Hélicoïde développable déterminé par deux hélices directrices .

976. Les cercles A et B {ftg. 392) étant les projections de deux hélices de même pas et de même sens dont les traces sont aux points a et b, on demande de déterminer un hélicoïde développable auquel ces courbes appartiennent.

Nous décrivons les développantes «G et /vG traces des développables dont ces hélices sont les arêtes de rebroussement; de l'un de leurs points d'intersection G nous menons les tangentes Gm et Gn, et nous joignons les points de contact m et n. Les hélices étant de même pas et de même sens, les points m et n de l'espace peuvent se transporter sur ces courbes d'un même mouvement hélicoïde, et alors la droite 77m décrira un hélicoïde réglé. Cette surface est d'ailleurs développable, car les tangentes aux directrices aux points m et 71 d'une génératrice se rencontrent au point G (' ).

On obtient le rayon du cercle projection de l'arête de rebroussement, en abaissant une perpendiculaire du centre o sur mn.

(') Cette construction est due à Th. Olivier [Développements de Géométrie descriptive).

l3j LIVHE I\. - SURFACES HÉLICOIDES.

Déi'eloppemcnt de llivUcoide.

1)77. L'iit'lice étant une ligne géodésique (]u cylindre sur lequel elle est tracée, tous ses plans osculateurs sont normaux h cette surface. Les rayons principaux du cylindre sont d'ailleurs l'un infini, l'autre égal à /•; par conséquent, si l'on appelle p le rayon de courbure de l'iiélire en un point, le tliéorème d'Euler donne immédiatement

^ = 7^os^M')-

Jusiju'ii présent nous avons surtout considéré la courbure des sections planes des surfaces; mais, ainsi que nous l'avons déjà remarqué (art. 797), les tbéorènies relatifs aux rayons de courbure peuvent être étendus aux courbes gaucbes. La grandeur d'un rayon de courbure est en effet déterminée par les positions relatives de trois points intiniment voisins de la courbe; le plan qui i-ontient ces trois points est celui de la courbe si elle est plane, et simplement son plan osculateui' si elle est gaucbe (^). '

Les grandeurs r et ]S sont les mêmes pour tous les points de l'bélice; le rayon de courbure p est donc constant. Il suit de là que, dans le développement d'un bélicoïde développable, la courbe plane transformée de l'arête de rebroussement a tous ses ra\ons de courbure égaux à js (art. 475), et que par conséquent c'est un cercle dont le rayon est/5.

978. Il n'est pas nécessaire de recourir au tbéorème d'Euler pour obtenir la formule que nous avons trouvée à l'article précédent. Nous remarquerons d'abord (|ue deux arcs de même longueur d'une hélice sont évidemment superposables, et (|uc par conséquent le rayon de courbure de cette ligne en ses différents points est constant, ainsi (jne celui de sa transformée (art. 475^.

Considérons sur l'hélicoide deux génératrices A et B tangentes à l'arête de rebroussement en des points qui comprennent une demi-spire; appelons p le rayon de la circonférence transformée de cette courbe, et désignons par a et }> les génératrices du cône directeur respectivement parallèles à A et à B. Les droites a et h sont dans un plan qui contient l'axe du cône.

(,';Cetlo formiilo osl applicable ii iiiu' ciuii-be <iuelroiuiuo el à sa projci-lio:i sur un |ihiii parallèle au rayon de courbure.

(*") Les formules démontrées dans la Note de l'art 8C1 permettent de trouver facilement, pour un point de l'hélice, l'expre-ssion du ravon de courbure et la position du plan oscuiateur; car ft' est nul, /■' est infini et 0 égale 90°, si l'on prend le plan horizontal perpendiculaire à l'axe de l'hélice, el le plan vertical parallèle à la tangente à celte courbe au point con.-iiiérc. (E. L. )

CIIVPITRK II. - IIKLICOIDE DÉVELOPPAGLK. |3,5

La loncrueui' d'iiiie denii-snire est -^ (art. î)49 . Les i'énératrices A et B

o 1 COSp ~

comprennent dune a|)rès le développement un ani^le éeal à — - — r-

' ' ' ' o o p COS i

Si nous supposons le cùnc directeur placé de manière à avoir pour trace horizontale la projection de l'arête de rebroussement, les génératrices a et 6 perceront ce cercle en deux points distants d'une demi-circonférence nr. Dans le développement du cône, la trace de cette surface a pour transformée un arc de cercle

dont le rayon est ^— ^- L'angle que les droites a et b font après le développement

est donc égal à n cos|3 (art. 167).

Quand la surface et le cône sont développés, les droites A et B d'une part, a et b de l'autre, comprennent encore des angles égaux (art. 181); nous avons par conséquent

7icos/3 = — ^ — r, ou p = — r-„- ^ P ces fi "^ cos^p

La génératrice A'o' du cône directeur {/ig. SBg) est égale à — 5; donc, en élevant à A'o' en o' la perpendiculaire o'u', nous déterminerons un segment A'w' (jui sera égal à p (').

979. Si nous voulons faire le développement de la partie de la surface qui correspond à une demi-spire (ADG, A'D'G') de l'arête de rebroussement {Jig. 389), nous tracerons deux droites rectangulaires A"g" et g-"G" respectivement égales à la demi-circonférence AG et à la moitié du pas; l'hypoténuse A" G" sera la longueur de la demi-spire de l'hélice; nous la porterons sur une circonférence décrite avec un rayon «,D, {/Ig. Sgo) égal à A'o/ {/ig. 3Sç)), et nous obtiendrons l'arc A, G,, transformée de la partie (AG, A'G') de l'arête de rebroussement.

La longueur d'une spire de l'hélice est égale à — t4' et par suite à la circonférence dont le rayon est ?. ou A'o'. En rectifiant la moitié de ce cercle, on ob-

•' COSp

tient directement la longueur A"G".

Une spire occupe sur le cercle de la transformée de l'hélice un arc dont le rapport à la circonférence est

cosp

2Tip

Eu égard à la valeur de p, cette expression est égale à cos|3 ou à -tj-tt? (Jig. 389). On peut, en mesurant ces deux longueurs, calculer l'amplitude de l'arc A, G,.

( ' ) Nous devons à M. Mannheim la détermination de la valeur de p par la considération du cône directeur.

, 3G LIVRE IX. — SURKACES HÉLICOIDES.

La transformée A, g, de la développante A^ est une développante du cercle A, G, (art. 475). On peut par cette considération obtenir la formule de l'art. 977, en supposant connue l'équation aux arcs et aux rayons de courbure de la développante de cercle (').

980. Les Iransforinées des diverses hélices de la surface sont des cercles concerttriques; car, pour avoir l'une d'elles, il faut porter une longueur constante sur cliaque génératrice, à partir du point où elle toucbe le cercle dans lequel se change l'aréle de rebroussement.

Si l'on veut avoir la transformée de l'arc d'hélice projeté sur le segment />/«« {/ig. 389), on portera sur la tangente Djc/, {/ig. 390) une longueur D,//?, égale il Dm'; la courbe cherchée sera l'arc de cercle passant par le point /??, et ayant son centre au point co,. Nous n'avons pas représenté sur \'à /ig. 389 la projection verticale de cette hélice par crainte de confusion.

Nous savons que le rayon, de courbure de l'arête de rebroussement n'est pas altéré par le développement (art. 47.'»). Les rayons de courbure des autres hélices ne sont pas ceux des cercles de leurs transformées.