CHAPITRE II. - IIÉl-ICÛIDE DÉVELOl'l'ABLE. iSt

Centres de couvhuvv de l'Iiélivv et snrfavc lien de ses dci'cloppées .

98*2. Si nous portons le rayon de courbure A'w' de D en w [fig. 389), le point (oj, D'j sera le centre de courbure de l'bélice (AG, A'G') pour le point (D,D'). Le lieu des centres de courbure de cette ligne est une seconde liélice, de même pas qu'elle, et projetée sur le cercle décrit du point o comme centre, avec o(o pour rayon. Appelant /•' le rayon de ce cercle, nous avons

!■' = p — r= rtang-jS, d'où

rr-=./r.

Cette formule est symétrique en ret en /■'; les deux liélices ont d'ailleurs les mêmes normales principales. Il résulte de là que la première est le lieu des centres de courbure de la seconde, comme celle-ci est le lieu des centres de courbure de la première.

Une semblable réciprocité ne peut pas exister entre des lignes planes, parce (jue les normales principales à une courbe de ce genre sont toutes dans un plan, et qu'elles y ont nécessairement une enveloppe, de sorte que le lieu des centres de courbure est une développée de la courbe.

La formule que nous avons trouvée montre que, (juand deux hélices sunl telles ijue chacune d'elles soit le lieu des centres de courbure de Vcuitre, leur pas réduit rornmiin est moyen proportionnel entre les rnyons des cylindres sur lesquels elles sont tracées.

985. Considérons une bélice fAB, A'B') [Jig. 3r)i) et le plan(GG', G'K':, (jui lui est osculateur au point (E, E' ) où sa tangente est parallèle au plan vertical ; si nous supposons que ce plan se meuve en restant toujours osculateur de l'hélice, l'enveloppe de ses positions sera la développable dont l'hélice (AB, A'B') est l'arête de l'cbroussement (art. 465).

L'angle /3 que le plan forme avec le plan horizontal, le pas réduit des hélices et le rayon r an cylindre sur lequel est l'hélice arête de rebroussement de la développable enveloppe, sont reliés par la formule (art. 96(>)

/•= /(COt,?.

Considérons maintenant un plan [gg', 5"'E') perpendiculaire au premier, el le coupant suivant une horizontale qui rencontre l'axe; puis supposons qu'il soit entraîné dans le mouvement : l'hêlicoïde développable enveloppe de ses positions aura son arête de rebroussement («/-», a' Z»') située sur un cylindre dont le ravon r' sera donné par la formule

/•' = /j tang/3.

in. — De I a GouRNERiE. — Descriptive, l8