LIVRE IX. — SURFACES IIELICOIDES

Le produit /■/■' est égal à A^; par conséquent, et eu égard à la position des hélices, chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de l'autre (art. 982).

Le plan normal à l'une des hélices en un point quelconque (E,E') est osculateur de l'autre au point (<?, e') situé dans le même plan horizontal. Chacun des hélicoïdes est donc l'enveloppe des plans normaux à l'arête de rebroussement de l'autre hélicoïde, et par conséquent le lieu des développées de cette courbe.

Exercice pour la section cVun hélicoïde développahle par un plan, et le développement de cette surface.

98 i. Nous avons représenté sur \Afig. SgS la partie d'un hélicoïde développable qui correspond à une spire de l'hélice directrice.

Cette courbe se projette sur le cercle ABC... La trace horizontale de la surface est l'arc de développante kcdegh... correspondant à une circonférence; l'arc symétrique ^.s^r^ . .. est la projection de la trace de la surface sur le plan horizontal a J[ élevé au-dessus du premier d'une hauteur égale au pas.

Nous partageons le cercle en parties égales, et, traçant les tangentes aux points de division, nous avons les projections horizontales d'un certain nombre de génératrices. Chacun des segments Aa,, ce,, r/c/,, . .., compris entre les deux développantes, est égal à la longueur de la circonférence ABC —

Nous projetons les points des développantes Xcde... et A^, /•,</,... respectivement'sur deux horizontales y/ et àj\; puis, joignant les points correspondants A' et fl',, // et Z*',, ..., nous avons les projections verticales des génératrices considérées.

La branche \cd. .. de la développante n'a pu être tracée en entier, et par suite les traces horizontales de deux génératrices manquent sur la figure; mais il est facile de reconnaître par la construction que les génératrices qui, sur le plan horizontal, ont des positions symétriques par rapport à la droite AOJ, sont parallèles sur le plan vertical; par conséquent, pour avoir les projections des deux dernières génératrices, il suffit de tracer par les points A', et u\ des droites respectivement parallèles à a', A' et b\b'.

Les projections verticales des génératrices dessinent par leur enveloppe la sinusoïde projection de l'hélice directrice.

Les plans tangents le long des génératrices {jj\,J'j\) et (Aa,, A'rt',) sont perpendiculaires au plan vertical, et par suite ces droites forment le contour apparent vertical de la surface. La ponctuation est établie en conséquence.

Nous avons représenté les deux arcs d'hélice qui sont les intersections de

CIIAPITIiE II. — IlÉUCOIDE DÉVELOPPABLE. l3f)

la développable par un cylindre de révolution qui a le même axe qu'elle, et qui passe par un point J,.

985. L'hélicoïde est coupé par un plan (VV,, Va') perpendiculaire au plan vertical, et passant par le point de division (P, P') de l'arête de rebroussenient. La position du plan rend très facile la construction de la projection horizontale de la courbe d'intersection. Pour montrer comment on peut l'obtenir par la méthode de l'art. 97o, nous avons déterminé le point fixe F et la développante «^^^oC, . . ., trace de la surface sur le plan horizontal qui contient le point 0'^ oi^i l'axe perce le plan sécant.

La tangente de rebroussement de la projection horizontale de la section au point P est déterminée soit par le point F, soit par un point c, intersection des traces, sur le plan horizontal auxiliaire xy, du plan tangent et du plan sécant.

Le point F étant extérieur au cercle ABC..., la courbe a deux branches infinies (art. 974). Les points à l'infini sont situés sur les génératrices dont les projec tions horizontales passent par le point F. Nous avons construit l'asymptote nn,, parallèle h la tangente F/«, en opérant sur le plan horizontal ci\J[; l'autre asymptote est en dehors du cadre de l'épure.

986. Pour faire le développement, nous déterminons le rayon <y'oj de la circonférence transformée de l'hélice (art. 978); nous décrivons cette circonférence {/ig. 390), et nous prenons sur elle un arc AA, égal à la longueur A' A', d'une spire {/ig. '^93). Nous partageons l'arc AA, {/ig. 395) en autant de parties égales que le cercle AJ l'a été; par les points de division nous traçons des tangentes qui représentent les génératrices, puis nous construisons les développantes Xbcd, A^u,s,r,. .. transformées des (races (art. 979).

On obtient la transformée de la courbe de section par le plan (VV,, Va') en déterminant, sur chaque génératrice, le point qui lui appartient. Pour avoir le point '/ il faut connaître la vraie grandeur du segment g\y' {fig- SqS); on y parvient facilement en ramenant par une horizontale le point 7' en 7" sur la génératrice A' a',, parallèle au plan vertical. La longueur «',7" est portée sur la génératrice ^, ^ (y?g-. 395), à partir de g,.

On place la tangente Pc, et l'asymptote «n, [fig. SgS), par les procédés ordinaires des développements.

987. La transformée de l'intersection est /3sP §77. {fig. 395). On peut se proposer de chercher ses points d'inflexion. Pour les obtenir, il faut construire les génératrices de contact des plans tangents perpendiculaires au j)lan sécant (art. i'77); comme d'ailleurs les plans tangents à l'hélicoïde sont respectivement parallèles à ceux de son cône directeur, on peut opérer sur ce cône, et lui appliquer la méthode de l'art. 170, car il est de révolution. Nous avons représenté la construction sur layTg. 394. La droite(S, S'D')est l'axe du cùiic; les droites S' ^-' et DT respectivement parallèles à j\j' et Va' {fig. 393) sont la génératrice pa-

j/^O LIVRE IX. — SURFACES HELICOIDES.

rallèle au plan verlioal, et la trace d'un plan sécant parallèle au plan (VV,, V'a'^. Nous avons mis les mêmes lettres que sur h^g. io4, afin de rendre la concordance facile à saisir.

Nous trouvons que deux des plans tangents à l'hélicoide sont perpendiculaires au plan sécant. Les génératrices de contact sont parallèles l'une à (SI, S'I'j, l'autre à (SI,,S'r) {/tg. 394). Ces génératrices sont voisines, la première de (//,, l'Q, la seconde de (AA,, h'h\) [fig. SqS); le bras Pa doit donc avoir deux inflexions près des points où il rencontre les génératrices //, et M, {fig- 395). L'une d'elles est très rapprochée du sommet P, et par conséquent le rebroussement se présente graphiquement comme s'il était du second ordre (art. 478).