I.JO LIVRE IX. - SURFACES HELICOIDES

Le point M donné par le second point d'intersection Q s'éloigne à l'infini, dans la direction de l'axe OX, lorsque la divergente est la droite Pa; tangente au cercle auxiliaire; la courbe proprement dite a donc une hranche infinie. La considération du cercle diamétral (art. 996) va nous permettre de déterminer l'ordonnée OY de son asymptote EE,.

Le point.?, où la divergente PQ rencontre le cercle décrit sur OP comme diamètre, est le milieu du segment MM, ; sa distance à l'axe OX est donc la moitié de la distance du point M à cet axe. Lorsque le point Q arrive en P, l'ordonnée du point s devient OP, et l'ordonnée OY du point situé à l'infini est double de OP.

1001. Il résulte de la construction même que les droiles qui joignent au point double P les deux points M et m, correspondant à an même azimut, sont à angle droit.

Les triangles rectangles m 0 y et QOM sont semblables, car les angles en q et en M ont leurs côtés respectivement perpendiculaires; ils donnent

OwxOM = /-.

Le rectangle des deux rayons vecteurs qui correspondent à un même azimut est constant.

Les triangles PCM et VOq sont semblables parce qu'ils ont leurs côtés respectivement perpendiculaires ; le premier est donc isoscële comme le second, et par suite les segments PC et CM sont égaux. On trouve de même que les longueurs PC et Cm sont égales. On peut donc construire la courbe par points en traçant des droites qui divergent de l'origine 0, et en prenant sur chacune d'elles, à partir du point C, des longueurs Cm et CM égales à PC (').

1002. Cas oii les rayons de lumière sont horizontaux. — Lorsque les rayons de lumière sont horizontaux, c'est-à-dire perpendiculaires à l'axe, le point fixe P doit être considéré comme s'étant éloigné h l'infini. Cette circonstance simplifie les constructions qui ont été expliquées aux articles 995 et 997; ainsi, pour avoir le point situé sur la droite PP perpendiculaire à l'axe des abscisses

(') La ligne que nous avons étudiéo dans les articles 1000 et lOUl est appelée quelquefois stmphoïde : c'est une variété de la 41° espèce des courbes du troisième ordre dans la classification de Newton (45" d'après Stirling). Elle appartient à la famille des hyperboles défectives qui ont un diamètre.

En appliquant à cette courbe la construction par le cercle FFi et le point Fi (art. fl9.">, note ), on reconnnail que la droite QM est perpendiculaire à FiN.

On trouve par les procédés du Calcul intégral que l'aire comprise entre un arc Om et sa corde est égale à celle du triangle NFjL, formé par les tangentes au cercle auxiliaire aux points N et Fi, et par l'arc NFi de ce cercle.

La strophoïde possède plusieurs propriétés assez remarquables qui résultent des théorèmes généraux relatifs aux courbes du troisième ordre.

CIIVPlTItK m. - SLRIACE Di; LA VIS A FILETS TRIANGULAIRES. I il

[fg. 397), il suffit de mener la droite OM perpendiculaire au rayon OQ. On aura les points M et m qui appartiennent au cercle OG, en prenant l'intersection de ce cercle avec la droite OC parallèle à F, G ( * ).

Lorsque la droite PP se rapproche du point F ou du point F,, les deux points M et M, s'éloignent de l'axe OX. Ils se réunissent à l'infini, quand PP se confond avec l'une ou l'autre des tangentes EE, et ce, au cercle auxiliaire. Ces droites sont donc asymptotes de la courbe.

Les triangles rectangles OMQ, FCO sont égaux, et par suite le rayon vecteur OM

et la tangente FC sont de même longueur. D'après cela, si l'on prend la droite OX

pour axe, elle point 0 pour origine de coordonnées polaires, l'équation de la

courbe sera

p =r rtango).

En appelant xV l'aire infiniment petite comprise entre cette ligne, l'asymptote voisine de la partie considérée et deux rayons vecteurs comprenant un angle infiniment petit f/w, on a

A ^ - /" — 5 /- taniÇ" oj dii) ;

2 COS-OJ 2 "

d'où

L'élément superficiel A est donc égal au secteur qui, dans le cercle, correspond à l'angle r/w, et par suite l' aire comprise entre un aiv delà courbe, V asymptote voisine et deux rayons vecteurs est égale à celle du secteur du cercle FF,, comprise entre les deux rayons ( " ) .

1003. x\ l'article précédent nous avons donné l'équation de la courbe dans un cas particulier; il est facile de l'obtenir dans le cas général. Si l'on abaisse des points M et Q [fig. 401) les droites ML et QE perpendiculaires sur l'axe OY,

on au l'a