IT2 LIVRE IX. — SURFACES HÉLICOIDES

OU, en appelant p le rayon vecteur 0^1 et w, l'azimut F, OM,

pcosto, ^-t-psin(o,

/• sinto, g — rcosw,' on déduit de là

ri; siiuo,

? COSio, — r

Enfin, si nous mesurons les azimuts à partir de l'axe OT, de manière que l'on ait

a> = l8o°-t- oj,.

l'équation deviendra

r^-sino)

^•COSa) -1- /•

En introduisant les coordonnées ordinaires, on trouve que la courbe est du quatrième degré. Quand les paramètres /• et ^ sont égaux en grandeur absolue, elle se décompose en une droite et une ligne du troisième ordre [fig. l\oo).

Indicatrice. Points limites des parties réel/es des courbes d'omlire pour des rayons parallèles .

1004. Nous avons vu que la droite YV [fig. 398) était tangente en P à la branche OPR, de la projection de la courbe d'ombre (art. 996). Nous savons d'ailleurs que la droite SP parallèle à OX est la projection d'un rayon de lumière, et que la génératrice OP est une des deux asymptotes de l'indicatrice pour le point P (ait. 82i). La seconde asymptote de l'indicatrice de ce point et la droite PO sont donc conjuguées harmoniques des lignes PS et PF. D'après cela, si on prend FD égale à la longueur OF ou /•, la droite PD sera la seconde asymptote de l'indicatrice pour le point P considéré comme appartenant à la nappe supérieure ( ').

Si l'inclinaison des rayons change, le point P se déplace sur la génératrice OY, mais la projection de la seconde asymptote de l'indicatrice passe toujours par le point D; la verticale de ce point est donc une génératrice de l'hyperboloide osculateur le long de la génératrice OY (art. S^Ti). On peut d'ailleurs opérer de la

(') Toutes les fuis que l'on connaît, pour un point d'une surface, deux tangentes conjuguées et une des asymptotes de l'indicatrice, on peut construire l'autre asymptote. Quand la surface est gauche, une de ces droites est la génératrice qui sera généralement connue ; par conséquent, lorsque, par quelque artifice, on aura déterminé la tangente à une courbe d'ombre pour une direction donnée de rayons, le problème de l'indicatrice se trouvera résolu.

ClUPITIii: m. — SURFACE DK LA VIS A FILETS THIANGL LAIRES. I 53

même manière pour toute génératrice, en supposant la surface éclairée par des rayons qui soient perpendiculaires à cette droite en projection horizontale (').

Quelle (jiie soit la génératiice que l'on considère, si on lui ékxe à rongine 0 une perpendiculaire égale à ir, du colé où s'étend la branche de la spirale d Arckunede sur laquelle est sa trace, l'extrémité de celte droite appartiendra aiur projections des secondes asymptotes de l'indicatrice de ses différents points.

Il nous serait maintenant facile de construire la taufçente à la projection horizontale de la courhe d'oinhre en un point donné. Nous reviendrons plus loin (art. 1012) sur cette question, à l'occasion des tangentes à la courbe d'ombre dans le cas général des rayons divergents.

1005. Pour discuter la courhe d'ombre dans l'espace et voir quelles sont celles de ses parties qui sont réelles dans les dill'érentes hypothèses que l'on peut faire, il est nécessaire de pouvoir se rendre compte de la position du plan tangent par rapport à la surface, en un point déterminé. On y parvient en supposant que l'hélicoide se modifie jusqu'à devenir un cône.

Soient 0 la trace de l'axe [fig. 4ifJ). KV la branche de la spirale d'Archimèdf trace de la nappe inférieure de la surface, et ^I un point de cette nappe. Nous élevons au point 0 une droite OQ perpendiculaire à OM, et nous portons sur elle une longueur OD double du paramètre r : les droites MO et .AID sont, en projection, les deux asymptotes de l'indicatrice du point M. Si l'on diminue le pas de l'hélicoide jusqu'à le rendre nul, le paramètre /■ deviendra nul aussi, le point 1) parcourra le segment DO et l'angle DM0 des asymptotes de rindicatrice se réduira à zéro. IMais alors l'hélicoide sera un cône dont nous n'avons à considérer que la nappe inférieure; son plan tangent au point M sera entièrement an-dessus de lui : donc la partie de la surface qui était au-dessus du plan tangent est celle (|ui était projetée dans l'angle DM0, et dans celui (jiii lui est opposé au sommet.

IOO(î. Les points limites des parties réelles de la courbe d'ombre sont ceux où la tangente à sa projection est parallèle à la droite OXlJrg. SgS). On trouve d'abord le point 0; mais, comme le plan tangent en un point de l'axe est perpendiculaire au plan de projection, on est ici dans le cas d'exception dont il a été question à l'art. 892. Lorsqu'à l'un des points de la courbe projetés en O le rayon de lumière est une asymptote de l'indicatrice, il se confond avec la génératrice de la surface et cette droite fait partie de la ligne d'ombre (Jig. /(oo). Il résulte de là que le point 0 considéré sur la courbe d'ombre proprement dite n'est jamais un point limite.

Soient R, {/ig. 398] un |»oint limite, OR, son rayon vecteur et UR, la projec-

(^'j L'indicalnce ctiiiu coniuie, les lliéoromcs des arliclos 880 et 887 donneiil immédialeinent puur les asymptotes de la courlje d'omljre les positions que nous avons déterminées par d'autres considérations aux articles 998, 1000 et 1002.