De la GocRNERiE. — Descripthe

l54 LIVUE IX. — SURFACES HÉUCOIDES.

tion du rayon de lumière qui y passe : ce rayon étant une asymptote de l'indicatrice, la droite OU perpendiculaire à OR, doit avoir une longueur égale à -ir, et par suite on a

tangOR,U = ^.

L'azimut to du point R, est l'angle DOR, supplémentaire à OR|U; l'équation devient donc, en appelant p le rayon OR,,

— tanecd = —

Éliminant p entre cette équation et celle de la courbe qui a été trouvée à l'art. 1005, on a

gCOS^to + 2 7-COSoj + q =^ <),

d'où

COSCd

■r±sfi^^^'

Cette expression montre que la courbe n'a de points limites que (|uand le point P est dans l'intérieur du cercle FF, [fig. SgS). Lorsque le radical est réel, il faut lui donner le signe + pour que la valeur absolue de cosw soit plus petite que l'unité. Nous avons donc simplement

cosw = ^

w a deux valeurs supplémentaires à iGo"* qui déterminent deux points limites, l'un par un rayon vecteur positif et l'autre par un rayon vecteur négatif. La construction à laquelle l'équation précédente conduit pour l'azimut oj est facile, mais on peut obtenir [)lus aisément encore la position des points limites. Si l'on appelle V la distance de ces points à l'axe OX, on a

V = OUsinXOU = OU cosR, OF,,

V = — a/'cosoj ; d'où

D'un autre côté, les équations des droites F,P et FK rapportées aux axes OD et OK sont

yyjn- g^=g{r-x).

ClIAPITRi; lU. - SURFACE DE LA VIS A FILETS TRLVNGULAIRES. I 3.:»

Eliminant ir, on Irouve que rordonnée tlu point de rencontre E est la même que celle des points limites. D'après cela, pour déterminer ces points, on mènera une droite par les points E et E, ; du point 0 comme centre et avec un rayon égal à ir, on décrira un arc de cercle qui coupera cette ligne au point U; on tracera ensuite OU et sa perpendiculaire OR,. La seconde rencontre du cercle avec la droite EE, ferait trouver un deuxième point limite R ( ' ).

Lorsque les rayons de lumière ont la même inclinaison que les génératrices de la surlace, g- est égal à ±ir, la valeur de y devient ± ir, et celle de (ù zéro ou i8o". La courbe a alors un point limite à l'infini.

Les détails que nous avons donnés dans ce paragraphe permettront dans chaque cas, et suivant que le corps sera placé d'un côté ou de l'autre de la surface, de déterminer les arcs réels et les arcs virtuels des courbes d'ombre.

Courbe (Vonihrc pr()j)re dans le eas de rayons divergents.

1007. Lorsque l'on doit déterminer la courbe d'ombre propre d'une surface de vis à filets triangulaires éclairée par des rayons divergents, on simplifie les tracés en prenant pour plan horizontal d'opérations celui qui contient le point lumineux.

Soient i /ig. 4io)

0 le pied de l'axe;

OKV la spirale d'Archimède trace de la surface sur le plan horizontal qui ciuUient

le point lumineux; S ce point; OQ le cercle qui a pour rayon le paramètre r.

Si l'on veut déterminer le point de la ligne d'ombre situé sur la génératrice qui a sa trace en K, on élèvera la perpendiculaire OQ à la projection OK, et du point Q on abaissera la perpendiculaire QI à la droite SK, trace du plan qui contient le point lumineux et la génératrice. L'intersection M des droites OK et QI sera le point cherché (art. 991;.

1008. Si l'angle SKO était droit, les droites QI et OK seraient parallèles, et le point M se trouverait à l'infini. Les traces des génératrices qui ne rencontrent la courbe qu'à l'infini sont donc les intersections de la spirale d'Archimède OV

(') Cette construction peut cire modifiée de diverses manières. La droite yFi i)asse au milieu e du se.2;ment OL; le point e est aussi le pied de la perpendiculaire abaissée du point </ sur OP. On obtient ainsi la droite llKi à l'aide du point L; le point Ri se trouve à la rencontre de celte ligne avec la diversicnle Py. (Mannhelm.)

l56 LIVRK I\. - >Ur',FACliS IIÉLICOIDES.

avec le cercle décrit sur SO comme diamètre [Jig- 4i2). (le cercle coupe la spirale en trois points H, R, et R^ et par suite la courbe a trois branches inlinies. l/origine 0 est un (|uatrième point de rencontre : la génératrice qui y a sa trace se projette sur la droite OX tangente à la spirale. En général, la droite ON n'est pas perpendiculaire à la trace SO du plan qui contient le point S et la génératrice OX, de sorte que la construction ordinaire fait trouver sur cette droite un point N de la courhe d'ombre à distance finie. Quand la spirale est tangente au cercle à l'origine, la génératrice OX^ est perpendiculaire à OS et ne rencontre la rourbe qu'à l'intini.

On peut consitlérer la spirale comme divisée en spires, c'est-à-dire en arcs tels (jue les azimuts de leurs extrémités diffèrent de 36o°. Les génératrices qui passent à ces extrémités interceptent sur l'axe des segments égaux au pas commun des hélices. Toute spire dont le plus petit rayon vecteur est plus grand que SO ne coupe pas le cercle décrit sur cette droite comme diamètre; toute spire, au contraire, dont le plus grand rayon est plus petit que SO le rencontre deux fois, l'jifin, (juclqur petit que soit ce cercle, la spirale le coupe ailleurs qu'à l'origine, ou bien (die le touche en ce point. Il résulte de là que la courbe d'ombre a, au moins, une branche intinie, qu'elle peut en avoir un grand nombre et qu'elle en possède deux, au plus, sur chaque partie de la surface correspondant à un segment de l'axe égal au pas des hélices.

1009. La construction de l'art. 1007 fait invariablement trouver le point O pour toutes les génératrices qui sont projetées surSO; il est évident, en effet, que le plan qui contient une de ces droites et le point lumineux S est vertical et a son point de contact sui- l'axe. Il résulte de là que pour la partie de la surface (|ui correspond à un segment de l'axe égal au pas des hélices, la projection horizontale de la courbe d'ombre passe deux fois au point 0 tangentiellement à la droite OX (art. 996 note).

1010. Nous allons maintenant déterminer directement les points de la projection horizontale de la courbe d'ombre qui sont à une distance donnée du pied de l'axe, ou, en d'autres termes, qui appartiennent à un cercle projection de deux hélices données.

Le point M [fig. 4io) ayant été déterminé par la construction de l'art. i007, on voit facilement (|ue les angles IKM et MQO sont égaux; or, si le rayon 031 doit

être égal à une longueur donnée R, la tangente de l'angle MQO est - ; l'angle IKM

est donc connu, et si l'on décrit sur SO un segment capable de cet angle, le point K sera son intersection avec la spirale.

Nous prenons les longueurs OG et Qg respectivement égales à R et à /, nous traçons la droite ^'0, et ensuite la perpendiculaire DC à OS au milieu D de OS. Lntiii, du point C comme centre, nous décrivons un cercle (|ui passe par les