CHAPITRE IV. — HYPERBOLOIDE. I

La valeur de Je est positive pour la génératrice [ae, a'e) et pour toutes celles du même système, et négative pour les génératrices de l'autre système.

Quand nous considérerons simultanément deux hyperboloïdes, nous regarderons comme homologues les systèmes dans lesquels le paramètre a le même signe.

728. En un point quelconque d'un hyperboloïde de révolution, le plan méridien fait des angles égaux avec les deux génératrices et est perpendiculaire à leur plan, qui est le plan tangcntence point. D'après cela, lorsqu'un hyperboloïde est donné par trois directrices reclilignes A, A', A" [fig. 3o2), pour reconnaître s'il est de révolution on construit une génératrice B'", et à chacun des points a, a' et a" où elle rencontre une directrice, on détermine un plan perpendiculaire à celui des deux droites et passant par la bissectrice de leur angle. Si la surface est de révolution, ces trois plans sont méridiens et se coupent suivant une même droite, qui est l'axe de la surface.

On peut encore construire sur les directrices A, A' et A" un parallélépipède DG, en déterminer le centre 0, abaisser de ce point des perpendiculaires sur les trois droites A, A' et A", et enfin voir si ces lignes sont dans un même plan et de même longueur.

729. Représentation de deux hyperboloïdes de révolution tangents le long d'une génératrice commune. Quand deux hyperboloïdes de révolution ont des axes non transverses de même grandeur, les paramètres de leurs génératrices sont égaux, et on peut les placer de manière qu'ils se raccordent tout le long d'une droite : il sulFitde faire coïncider deux génératrices des systèmes homologues, de manière que les points centraux se superposent et que les plans centraux se confondent en un seul. Les axes des deux hyperboloïdes sont alors parallèles à ce plan, et les centres sont sur la normale commune au point central.

Nous avons représenté sur les PI. XLVI et A'£,T7/deux hvperboloïdes de révolution qui se touchent ainsi suivant une droite. Le plan horizontal est parallèle au plan central de la génératrice de contact, et par conséquent à cette droite et aux deux axes de révolution; les projections de ces lignes sont AA,, MM, et mm, [fig. 3i4)- Le plan vertical est parallèle à AA, et les projections verticales des deux axes sont les horizontales iM'M', et Tn'm^ (Jig. 3i5). Ces données suffisent pour établir complètement la figure.

Si nous inscrivons dans l'angle 31,0/^, une droite Yv perpendiculaire à OA, et égale à la distance o'O' des axes, nous aurons

Vu cotVOw = i'u colvOu = «0.

Mais chacun des angles VOu et çOu est, pour une des surfaces, le complément de l'angle que nous avons appelé a à l'article 727; donc, si nous prenons les seg-