LIVRE VU. — SURFACES GAUCHES

inents Yu et cm pour rayons des cercles de gorge, les deux hyperboloïdes auront des axes non transverses de même grandeur et se raccorderont.

Nous rapportons en o) sur o'O' le point de division ii du segment cV, qui est égal à la distance des axes de révolution, et nous traçons la projection verticale A'wA', de la génératrice de contact.

Nous prenons sur cette droite une longueur (AA,, A' A',) partagée en deux parties égales par le point central ( 0, w), et nous limitons chaque surface aux parallèles qui passent par les points extrêmes (A, A'), (A,, A'j); nous déterminons facilement les traces horizontales de leurs plans, puis leurs centres (M, M'), (M,, M', ), {m, m'), [m,, m\), et ensuite leurs rayons, qui sont les vraies grandeurs des lignes (MA, M'A'), {mA, m'A'). Nous avons alors les longueurs des droites qui sont les projections horizontales des parallèles, et nous pouvons tracer les ellipses qui forment leurs projections verticales.

750. Le contour apparent de chaque surface sur le plan horizontal est une hyperbole méridienne; son axe transverse est égal au diamètre du cercle de gorge, et son axe non transverse au double de la longueur Ou. La ligne AA,, projection d'une génératrice horizontale, est une des asymptotes; on détermine facilement l'autre, qui est GG, pour le premier hyperboloide et gg, pour le second.

Les contours apparents par rapport au plan vertical sont les sections des surfaces par les plans diamétraux qui sont conjugués avec les projetantes (art. 717), et dont par conséquent les traces horizontales sont, par rapport aux projections des hyperboles méridiennes horizontales, les diamètres conjugués à la direction 00'. On obtient facilement ces droites en opérant sur les asymptotes.

Nous traçons entre les lignes GG, et gg, une droite S5, parallèle à A, A; nous prenons les longueurs OS, et Os, respectivement doubles des segments OS et Os, et les diamètres PP, et op, parallèles à S,R et 5, R sont les traces des plans cherchés (').

Pour chaque hyperboloide, l'axe vertical de l'hyperbole qui forme le contour apparent est égal au diamètre du cercle de gorge; on peut déterminer ses asymptotes de diverses manières. Nous les considérerons comme les intersections du cône asymptote par le plan de la courbe.

Le plan vertical LF coupe le cône asymptote du premier hyperboloide suivant un cercle dont le rayon est MG; si nous rabattons ce cercle sur le plan horizontal qui contient l'axe de révolution, nous déterminerons l'ordonnée Ptt" de la trace de la génératrice PP, du cône asymptote. Prenant nn' et -,7:', {Jïg- 3i5) égaux à Ptî" {Jig. 3i4), nous obtenons les points n' et n\ qui déterminent les asymptotes 0'-' et O'ti',. Nous n'avons pas prolongé ces droites au delà du centre 0' par

(') Cette construction est analogue à celles des articles 598 et 643.

CHAPITIiK IV. — llYPEr.ROLOIDr. 20 [

crainte de confusion, et pour le même motif nous n'avons pas conservé sur la figure les asymptotes du contour apparent de l'hyperboloidc supérieur.

Si le plan vertical PP, n'avait rencontré le cône asymptote qu'à son sommet, le contour apparent de l'hyperboloïde aurait été une ellipse.

731. Nous avons tracé sur chaque hyperboloïde onze génératrices du système auquel appartient la génératrice de contact, en les disposant de manière k partager avec elle la surface en douze parties égales. Pour cela, le parallèle extrême LF ayant été rabattu comme nous l'avons dit plus haut, nous l'avons divisé en douze parties à partir du point A", qui se projette en A. Afin de dégager la figure, nous avons placé l'une sur l'autre les deux moitiés supérieure et inférieure du parallèle : le point de division qui arrivait en G" a été ainsi ramené en G".

La division du parallèle extrême du second hyperboloïde a été faite de la même manière.

752. D'après ce que nous avons vu à l'article 628, les hyperboloïdes peuvent se raccorder, le long des deux mêmes génératrices réunies en une seule droite, dans trois autres positions relatives; mais il n'y en a qu'une qui soit réellement différente, celle que l'on obtiendrait en faisant tourner une des surfaces de 180° autour de la génératrice de contact. Si l'un des hyperboloïdes tournait de 180° autour de la normale commune au point central (0, w), par suite des symétries qui existent, le système des surfaces présenterait les mêmes apparences.

Avec les données que nous avons choisies, on aurait reconnu que les centres des hyperboloïdes devaient être d'un même côté du point central, et par conséquent que l'un d'eux devait se trouver dans l'intérieur de l'autre, si la perpendiculaire Yv'a la projection AA, de la génératrice de contact avait rencontré les axes MM, et mm, d'un même côté de cette droite (Jig. 3i4). Les rayons m> et uY eussent été en effet de même signe.

73Ô. Quand deux hyperboloïdes A et A, se raccordent le long d'une génératrice G, un plan contenant cette ligne et un point N de leur intersection les touche en unpointMdeGet coupe cliacun d'eux suivant une génératrice (art. G 17, 692). Ces droites, passant par les points M et N, se confondent nécessairement. L'intersection complète est donc formée de lignes droites.

Les surfaces étant du second ordre, la projection de l'intersection est donnée par une équation du quatrième degré qui doit se décomposer en deux équations du second, dont l'une représente deux fois la génératrice G; l'autre correspond à deux droites réelles ou imaginaires.

754. Les génératrices d'intersection sont évidemment parallèles à celles suivant lesquelles se coupent les cônes directeurs, en les supposant placés de manière à avoir leurs sommets en un même point; mais il importe de voir que, toutes les fois que les cônes auront des droites communes, les hyperboloïdes se couperont suivant des droites parallèles à celles-là.