LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES

Les i^énératrices B et B, des deux surfaces qui passent par uu point quelconque C de la génératrice de contact G sont, ainsi que celte droite, dans le plan tangent en C; leurs homologues b, b, et g, sur les cônes directeurs, sont donc aussi dans un même plan, et par suite tout plan passant par g coupe les cônes suivant deux droites dont les homologues sur les seconds systèmes des deux hyperboloïdes se croisent en un point de G. Par conséquent, si les cônes se coupent le long d'une droite, les génératrices homologues de cette ligne dans les seconds svstèmes passeront par un même point, et, comme d'ailleurs elles seront parallèles, elles se confondront.

Les cônes, étant tangents le long de g, doivent se couper suivant deux droites (réelles ou imaginaires) qui peuvent se confondre en une seconde génératrice de contact : les hyperboloïdes ont donc deux droites d'intersection (réelles ou imaginaires) ou une nouvelle génératrice de raccordement qui n'appartient pas au même système que la première.

75o. Sur lay?^. 3i4, les cônes asymptotes sont projetés sur les espaces angulaires GOA et G, 0 A, , gOA et g, OA, qui n'ont pas de partie commune. Leurs projections seront les mêmes, si on les transporte verticalement, de manière à faire coïncider leurs sommets en un point de la verticale du point 0; les cônes directeurs ne se coupent donc pas, et les hyperboloïdes n'ont en commun que la génératrice AA,.

Nous avons représenté en projecùo'n horizontale, sur la fig. 3iG, deux hyperboloïdes de rév^olution en contact, comme lesprécédents, le longd'une génératrice, mais tels, que les projections des Cônes asymptotes se superposent en partie. Nous allons rechercher si les hyperboloïdes ont des génératrices communes : nous ferons les opérations à l'aide de la seule projection horizontale et des plans verticaux auxiliaires perpendiculaires aux axes non transverses. Les lettres indiquent la concordance des Jïg. 3i4 et 3i6.

Lorsque les cônes ont été transportés verticalement de manière que leurs sommets coïncident, leurs sections par les plans verticaux/"/, b,h,, FL et B,H, sont des cercles situés sur une même sphère dont le centre est en 0 et dont le rayon est OA; donc le point Q où se coupent les traces AG et A, g, est la projection de deux points de rencontre des cercles. Si nous rabattons le plan FL, nous pourrons placer en Q' l'un des points qui se projettent horizontalement en Q, et alors les droites OQ, ÎMQ' seront les projections horizontale et verticale d'une génératrice d'intersection des cônes. Pour éviter la confusion sur le i)lan horizontal, nous avons rabattu les parties inférieure et supérieure du plan vertical l'une sur l'autre; d'après cela, nous aurons la projection verticale de la seconde génératrice d'intersection en considérant la droite MQ' comme appartenant au second rabattement.

11 est maintenant facile de déterminer les génératrices d'intersection des hyper-

CIIAPITRK IV. — liYPEKBOLOlDE. ao3

boloïfles : ft' sont les droites (R/-, K'f/) et {Ss, S'7) appartenant aux seconds systèmes et respectivement parallèles à la ligne (OQ, MQ') dans ses deux positions.

Sur le plan vertical FL, les points qui sont dans leur véritable position par rapport à la trace A' de la génératrice de contact sont indiqués par des lettres ayant un seul accent, et ceux qui devraient être de l'antre côté de la ligne de terre et qui ont été ramenés du côté des premiers, par des lettres ayant deux accents. On voit d'après cela que les droites (Rr, R"p) et (S^, S'a) rencontrent le plan vertical FL, la première au-dessous du centre M et la seconde au-dessus de ce point.

Nous avons vérifié les tracés en faisant les déterminations à l'aide du plan vertical//, perpendiculaire à l'axe du cône supérieur. Nous avons mis un seul accent aux lettres qui désignent les points dont la position par rapport à la trace a' n'a pas été modifiée.

Les droites (Rr, R"p) et {Ss, S' 7) rencontrent la génératrice de contact aux points a et /S; elles ne sont vues que sur de petites longueurs, depuis les points X et/Jt,, où elles touchent le contour apparent del'hyperboloide supérieur, jusqu'aux points R, et S, situés sur les bases de l'iiyperboloïde inférieur. Au delà de ces points, elles seraient encore vues sur la première de ces surfaces, mais elles ne sont plus lignes d'intersection (').

756. Les cônes et par suite les hyperboloides se coupent toutes les fois que la somme des angles gOA et AOG est supérieure à 180°, c'est-à-dire quand l'angle MO m, qui est formé par les axes et qui comprend la génératrice de contact OA, est obtus. Quand cet angle est droit, les secondes asymptotes GG, et gg, des hyperboles méridiennes se réunissent en projection sur le plan horizontal, et les génératrices du second système qui leur sont parallèles dans le plan tangent en w {^g. 3i5) se confondent également. Comme, d'ailleurs, les surfaces se touchent en ce point central, et que le paramètre est le même, les deux génératrices réunies forment une seconde droite de raccordement.

En analysant les constructions de \a fig- 3i6, on reconnaît facilement que, dans le cas qui nous occupe, les lignes d'intersection Rr et S^ se confondent avec la nouvelle génératrice de contact.

757. Les droites ^'0 et VO [fig- 3i4) étant supposées à angle droit, chaque cercle de gorge est dans le plan méridien de l'autre surface; on a d'ailleurs

tangifOV tang^^O^■ = 1 ('- ) ou

mV uv

(') L'intersection des hyperboloïdes se dessine très-bien sur une projection verticale. La construction de cette projection est un bon exercice graphique.

(^) Si nous mettions les signes en évidence, le produit des tangentes serait — !, ce qui indiquerait que les rayons R et /• doivent ùtre dirigés en sens contraire à partir du point de contact.

2o4 LIVRE VII. — SURFACES GAUCHES.

Si l'on appelle R et ries rayons des cercles de gorge, et c la longueur Ou qui est celle des demi-axes non transverses des hyperboles méridiennes des deux surfaces (art. 729), l'équation précédente deviendra

Les ravons de courbure des hvperboles méridiennes à leur sommet oj sont — et — ; la formule que nous venons de trouver exprime donc que, quand deux

hyperboloïdes de révolution se raccordent le long de deux génératrices, chaque cercle de gorge est osculaleur de l'hyperbole méridienne de l'autre surface, et, comme ces courbes ne se traversent pas, le contact s'élève au troisième ordre.

758. Dans le cas de la /ig- 3i6, si l'on ne conservait de chaque surface que les parties respectivement comprises entre les cercles de gorge et les bases// et FL, les hyperboloïdes se toucheraient sans se couper.

Si l'un des hyperboloïdes était dans l'intérieur de l'autre, les cônes directeurs, placés de manière à avoir leurs sommets en un même point, n'auraient en commun que leur génératrice de contact, et par conséquent les surfaces ne se couperaient pas. Il est d'ailleurs facile de voir, sur la fig. 3iG, que, si l'un des hyperboloïdes faisait une révolution de 180" autour de la droite A, A, le point d'intersection analogue -^ Q serait sur les prolongements des projections des bases, et que par suite il ne correspondrait à aucun point de la sphère que nous avons considéi'ée.

Hyperboluide employé comme surface auxiliaire .

759. Soit G une génératrice d'une surface gauche déterminée par trois directrices A, B et C [fig. 236); en remplaçant les courbes par leurs tangentes R, S et T aux points m, n et p où elles rencontrent la génératrice, on obtient un hyperboloïde qui touche la surface à ces points et qui, par conséquent, se raccorde avec elle tout le long de G.

Quand les trois tangentes sont dans un même plan, l'iiyperboloïde se réduit à ce plan, qui est le plan tangent unique de la surface en tous les points de la génératrice, sauf au sommet, car il y en a nécessairement un à distance finie ou à l'infini (art. 629).

Lorsque deux tangentes R et S sont dans un même plan, et que la troisième T ne s'y trouve pas, la surface a un sommet en p. Le plan de rebroussement en ce point est déterLuiné par les droites G et T, et le plan des droites R et S est le plan tangent unique de la surface à tous les autres points de G.

Les raisonnements que nous avons présentés à l'article 614 ne sont pas appli-

CIIAFITRIi IV. — IIYPERBOLOIDE. 2o5

cables sans restriction à ces cas, car ncus avons supposé que tout plan sécant coupait les deux génératrices consécutives en lieux points distincts, ce qui n'a pas lieu à un sommet.

740. Dans le cas général, quand deux quelconques des tangentes ne sont pas dans un même plan, la surface est un hyperboloïde (ou un paraboloïde), et il y a raccordement. Si maintenant on suppose que la directrice T tourne autour du point/» et dans le plan tangent en ce point, l'hyperboloide se modifiera en restant toujours langent aux divers points de G, et il sera un paraboloïde quand la directrice mobile T se confondra avec l'intersection du plan tangent en p avec un plan passant en ce point et parallèle aux deux directrices R et S. Nous obtenons ainsi une infinité d'hyperboloïdes et un paraboloïde, tous de raccordement.

En considérant l'une quelconque des positions de ï et faisant tourner séparément chacune des deux autres directrices reclilignes dans son plan tangent, nous obtiendrons d'autres byperboloïdes qui seront des paraboloïdes dans toutes les positions, en nombre infini, où les trois tangentes directrices se trouveront parallèles à un même plan.

741. Considérons une génératrice G d'une surface gauche et une droite D située d'une manière quelconque dans l'espace, sous la seule condition de ne pas rencontrer G : trois plans passant par D coupent la surface suivant trois courbes A, B et G dont les tangentes R, S et T aux points où elles rencontrent G déterminent un hyperboloïde de raccordement sur lequel D est une génératrice du même système que G, car elle rencontre les trois directrices R, S et T; les génératrices de l'autre système rencontrent les deux droites G et D, et sont tangentes aux différentes sections faites dans la surface par des plans passant par D. Nous concluons de là deux théorèmes :

i" Si l'on coupe une surface gauche par une série de plans passant par une droite, les tangentes de toutes les sections aux points situés sur une même génératrice formeront un hyperboloïde.

2" On peut toujours déterminer un hyperboloïde qui touche une surface gauche le long d'une génératrice et qui contienne une droite non située dans un même plan avec la génératrice, mais d'ailleurs quelconque.

On peut considérer un hyperboloïde de raccordement comme déterminé par la génératrice G, la génératrice de la surface gauche qui lui est infiniment voisine et une droite D. L'hyperboloide se change en un paraboloïde quand ces trois droites sont parallèles à un même plan, et par suite quand la droite D est parallèle au plan tangent de la surface au point de G situé à l'infini (art. 592).

742. Les byperboloïdes de raccordement à une surface gauche le long d'une génératrice G ont les mêmes plans tangents aux divers points de cette droite, et notamment à celui qui esta l'infini; mais (diaque plan tangent d'un hyperboloïde à l'infini contient le centre de cette surface (art. 085, G92); donc tous les hyper-