CHAPITRE I. — THKOP.IK GtNKliAI.IC

un intervalle de temps t. Si tout le système de ces droites est entraîné dans un mouvement commun de révolution autour d'un axe As situé dans le plan de la courbe /, les droites engendreront des cônes, et les intersections successives de ces surfaces seront les cercles décrits par les points i,j, A, ..., lesquels appartiendront à une surface de révolution qui sera d'autant plus rapprochée de celle dont la méridienne est y, que l'intervalle t sera plus petit. A la limite les cercles deviendront les parallèles de celte surface, qui sera ainsi l'enveloppe des cônes. Elle touche chacun d'eux le long d'une caractéristique, c'est-à-dire d'un parallèle. Les cônes que nous venons de considérer sont ceux qui nous ont servi pour les constructions des articles 543 et 356. On peut encore regarder une surface de révolution comme enveloppe de cylindres circonscrits le long des méridiens, et perpendiculaire à leurs plans (art. 54G etôGO), ou de sphères inscrites le long des divers parallèles (art. 562). Les raisonnements de l'article 568 montrent que le tore elliptique de la PL XIV est l'enveloppe des positions d'un ellipsoïde de forme invariable; les caractéristiques sont les méridiens.

454. Si une sphère de rayon constant se meut suivant une loi quelconque, ses intersections consécutives seront de grands cercles, et l'on déterminera facilement l'enveloppe; mais si le centre de la surface est fixe et son rayon variable, deux sphères consécutives ne se couperont pas, et les caractéristiques seront imaginaires ('). On voit donc que des surfaces peuvent ne pas avoir d'enveloppe réelle, bien qu'elles forment une série continue.

455. Quand une ligne se meut en conservant sa forme ou en se modifiant d'une manière continue, si elle est toujours tangente à une courbe fixe, cette courbe est dite son emeloppe, et la ligne mobile considérée dans ses différentes positions prend par rapport à elle le nom iV erneloppee .

On reconnaît, par des considérations analogues h celles de l'article 452, que, quand une courbe plane se meut dans son plan, elle a une enveloppe lieu de ses intersections consécutives. Cette enveloppe peut d'ailleurs être imaginaire, ainsi qu'il arriverait si les enveloppées étaient des cercles concentriques.

{') Si le rayon de la sphère a un maximum ou un minimum, lorsqu'il sera parvenu à cotte grandeur, deux sphères consécutives se confondront , et la caractéristique jusque-là imaginaire deviendra une surface qui devra être considérée comme l'enveloppe.

Des surfaces n'ont pas d'enveloppe lorsqu'il en passe un même nombre (non infini) par tous les points de l'espace. Quand, sous le rapport du nombre de surfaces qui passent par un point, l'espace est divisé en régions, la surface qui limite les diflérenles régions forme l'enveloppe; c'est, en général, une surface nouvelle, mais quelquefois elle se compose de surfaces distinctes appartenant à la série que l'on considère.

Des considérations analogues peuvent être présentées sur les lignes enveloppes; elles montrent que les théorèmes de l'article i3o sont généraux, et que le cercle FEH {/g. 2i5), qui serait l'ombre sur le plan horizontal do l'ellipso'i'de O^O' si on l'éclairail par des rayons verticaux, est bien l'enveloppe des projections horizontales des parallèles.

La courbe ij, et celle qui lui est symétrique par rapport à la droite 0,0, {fig. a 18), forment l'enveloppe des cercles qui senties ombres des parallèles de la surface de révolution. Les considérations qui ont été présentées à l'article 571 monlrent que l' ombre portée par une surfaceest V enveloppe des ombres portées par ses génératrices, et que le cylindre [ou le cône d'ombre d'une surface est l'enveloppe des cylindres [ou des cônes d'ombre de ses génératrices.

On peut ajouter que le cône d'ombre d'une surface enveloppe est l'enveloppe des cônes d'ombre de ses enveloppées, car l'intersection des lignes d'ombre de l'enveloppe et d'une enveloppée particulière est un des points de contact de ces surfaces, et leurs cônes d'ombre se loucbent le long de la génératrice qui passe en ce point. Le cône d'ombre de l'enveloppe est ainsi louclié par celui d'une de ses enveloppées, le long de cliacune de ses généralrices.

Notions sur les développantes.

456. Développantes d'une courbe plane. Considérons un polygone A,B, C

H, I, inscrit dans une courbe plane (fig. 2Ji), et prolongeons-en les côtés. Si par des rotations autour des sommets B, C, D, ... nous amenons la droite indéfinie AB à coïncider successivement avec les autres droites, l'un quelconque M de ses points décrira une série d'arcs de cercle JMN.NO, ..., Qa?, puis le centre du mouvement passant de F en G, le point s'éloignera par un arca^R.

Eu égard à la grandeur relative des rayons, si l'on prolonge un arc ON, il laissera les arcs contigus NM el OP de côtés différents.

En passant à la limite, on voit que si une droite am roule sur une courbe / [Jig. 23o), c'est-à-dire si elle se meut en restant toujours tangente à celte courbe et sans glisser sur elle, un quelconque m de ses points décrira une ligne w, composée d'une infinité d'arcs de cercle infiniment petits, qui, s'ils étaient prolongés, la traverseraient tangentiellement et dont les centres sont sur la courbe /. Les rayons de courbure de la ligne w sont donc les segments ma, nb, ... de la droite mobile, mesurés jusqu'au point de contact. Celte ligne est une développante de la première, et celle-ci prend par rapport à elle le nom de développée. La développée d'une courbe plane est à la fois le lieu de ses centres de courbure et l'enveloppe de ses normales.

Les développantes décrites par les dilTérents points de la droite am (Jig. aSo) ont évidemment les mêmes normales, et sont à la même distance les unes des autres dans la direction de ces droites. Cbacune d'elles rencontre, en général, la développée/, et a un rebroussement au point commun x; le rayon de courbure de la développante esl alors nul, ainsi que cela doit être (art. 94).

457. La considération des développantes jette du jour sur la question des rayons de courbure des lignes planes en leurs points singuliers.

CFIAPITCL I. — TdÉOniE GIlNÉRALE. 49

A chaque point d'inllexioii />, d'une courbe / [fig. il>i) correspond un rebroussement de seconde espèce «, sur cliaque développante &) (art. *il9). On voit qu'en général le rayon de courbure n'est pas nul en ces points, comme aux rebroussements de première espèce.

L'une des développantes de la courbe / passe par le point d'inflexion 6, ; elle j- a une inflexion d'une nature particulière : les rayons de courbure des points voisins sont très-petits, et leur longueur varie très-rapidement ; la continuité s'établit entre eux par un rayon nul qui correspond au point h, considéré isolément.

Quand une courbe a une branche infinie dont les bras sont d'un même côté de l'asymptote (art. 18*i), ses développantes ont un rebroussement de première espèce où le rayon de courbure est infini, et qui, par conséquent, difl'ère beaucoup des rebroussements où le rayon de courbure est nul.

458. La question des rebroussements ayant une grande importance, nous nous y arrêterons quelques instants.

Une courbe plane qui a un rebroussement peut être considérée comme la projection d'une courbe gauche sur un phin perpendiculaire à l'une de ses tangentes (art. 217). La trace du plan osculateur est la tangente au rebroussement.

Si le plan osculateur a simplement un contact du second ordre avec la courbe, c'est-a-dire s'il n'a en commun avec elle que trois points réunis en un seul, il la traverse (art. 21 i), et les deux bras du rebroussement, qui est alors du premier ordre, se trouvent de part et d'autre de la tangente.

Quand le plan osculateur a un contact du troisième ordre avec la courbe, il ne la traverse pas; le rebroussement devient de second ordre, et ses deux bras sont d'un même côté de la tangente.

L'ordre du rebroussement s'élève ainsi en même temps que celui du contact de la courbe gauche avec son plan osculateur. Suivant qu'il est impair ou pair, la tan- £;ente laisse les deux bras du rebroussement de côtés ditlerents ou d'un même côté.

Les rebroussements de premier et de second ordre sont les rebroussements ordinaires de première espèce et de seconde espèce. Le rayon de courbure des uns est nul; celui des autres a, en général, une grandeur finie.

Quand le contact de la courbe gauche avec son plan osculateur augmente d'une unité, celui de sa projection avec la trace du plan osculateur augmente aussi d'une unité. A un rebroussement du troisième ordre, la courbe a donc avec sa tangente un contact d'un degré plus élevé d'une unité qu'à un rebroussement de second ordre : le rayon de courbure y est donc infini. Il l'est de même aux rebroussements d'ordre plus élevé ( ').

(') Dans une étude complète, il serait nécessaire d'avoir égard à l'ordre de multii)licité du sommet, et le rebroussement est de seconde espèce à l'ordre de contact des deux bras.

(Juand une courbe gauclio a un contact du troisième ordre avec l'une de ses tangentes, sa pro- II. ^ 7

5o LIVllE VI. — SUIU'ACliS DÉVULOPI'ABLI'.S.

439. Loi'squ'une courbe ABC [fig. aS-) a un rebroussement de premier ordre, le rayon de courbure au point correspondant de ses développantes est, en grandeur absolue, un maximum pour celles qui sont du coté de la convexité, telles que rstii, et un minimum pour les autres, telles que mn. On peut, en ayant égard au signe des rayons, les considérer tous comme à leur maximum ou tous comme à leur minimum. La développante qui passe au point de rebroussement y a un rayon de courbure nul, mais sans changement de signe, et par suite il n'y a pas de rebroussement,

Lorsque les deux bras de la ligne ABC sont resserrés sur la tangente au rebroussement, le rayon de courbure de la développante qui passe au sommet varie avec une extrême rapidité, et cette courbe, même construite avec un grand soin, ne présente aucune singularité apparente.

Quand une courbe a un rebroussement de second ordre, ses développantes en ont un du même ordi'e au point correspondant; en considérant celle qui passe au point de rebroussement, on reconnaît qu'à un rebroussement de second ordre le rayon de courbure peut être accidentellement nul.

En général, une développée a un rebroussement quand la courbe primitive a un sommet, c'est-à-dire un point où le rayon de courbure atteint une valeur maximum ou minimum. Une courbe peut avoir un sommet à un point de rebroussement de second ordre, puisque le rayon de courbure n'y change pas de signe, et alors sa développée a un rebroussement qui est nécessairement du même ordre. Dans le cas ordinaire, à un rebroussement de second ordre sur la courbe primitive, correspond une inflexion sur la développée (art. 457).

440. La différence de deux rayons CN et FQ [fig. aSi) est égale à la somme des côtés du polygone compris entre les points Cet F; la longueur de l'arc ai d'une développée [fig. 23o) est donc la différence des rayons de courbure qui le touchent à ses extrémités.

Si ces points étaient, tels que b et c, de côtés différents du rebroussement, la longueur de l'arc serait la somme des longueurs absolues des rayons.

441 . Développantes d'une courbe gauche. Surface des développantes . Une courbe gauche a, comme celles qui sont planes, une infinité de développantes, trajectoires des divers points d'une tangente qui roule sur elle sans glisser. Chaque développante rencontre en général la courbe et a un rebroussement au point commun.

Les développantes peuvent être considérées comme des génératrices curvilignes de la surface décrite par la tangente mobile. La courbe gauche, lieu des

jeclion sur un plan perpendiculaire possède un rebroussement dont le sommet est un point quadruple. On peut consulter sur ces questions notre Note sur les singularités élevées des courbes planes [Journal de Maillé matiqucs, 18G9).