CHAPITRE I. — THEORIE GENERALE. DI

points de rebroussement, forme sur cette surface une arête de rehroussement qui la divise en deux nappes.

Comme cette circonstance est fort importante, nous allons l'étudier d'une autre manière.

442. Nous considérons une courbe gauche projetée sur deux plans rectangulaires, dont l'un, que nous supposons horizontal, lui est osculateur en un point M {fig. 238) : sa projection sur l'autre plan est une ligne A'B', osculatrice en M' de la ligne de terre (art. 217).

Nous prenons un second plan vertical xy passant par le point M, et nous le rabattons, après avoir éloigné sa trace en a?, j, pour éviter que les figures ne se superposent.

La tangente de la courbe en un point (A, A') voisin de M rencontre le plan xy au point {c/.,u') qui est rabattu en a". Si le point A se rapproche du point M et vient se confondre avec lui, a" décrira une courbe et viendra coïncider avec M"; la droite «"M", trace du plan qui contient le point M et la tangente en A, tournera autour de M" et deviendra la trace a7,j, du plan osculateur en M. La ligne courbe «"M", lieu des traces des tangentes de l'arc (AM, A'M'), est donc tangente en M" à la droite x^y^. On peut faire le même raisonnement pour la ligne M"|3", lieu des traces des tangentes de l'arc (MB, M'B'); d'ailleurs, si la courbe gauche n'a pas d'inflexion en M, les segments curvilignes M"«" et M"/3" seront d'un même côté de la projetante MM"; donc la trace a"M"/3" de la surface formée par les tangentes à la courbe gauche (AB, A'B') a un rebroussement de premier ordre, dont la tangente ic,y, est la trace du plan osculateur de la courbe.

Si le plan sécant était oblique sur le plan osculateur, la figure serait un peu moins simple, mais les raisonnements et les conclusions resteraient les mêmes; il n'y a d'exception que quand la droite xy est tangente en M, parce qu'alors les points a et /3 ne sont pas d'un même côté de ce point. Nousvoyons d'après cela que la surface des tangentes est telle, que sa section par un plan présente un rebroussement au point où elle rencontre la courbe gauche; cette surface a donc un rebroussement tout le long de cette ligne, sauf toutefois à ses points d'inflexion, ce qui est conforme aux résultats de l'article 438. En un point M, les tangentes au rebroussement pour les différentes sections sont dans le plan osculateur de la courbe, qui est \e plan de rebroussement pour le point M.

Toute droite passant par le point de rebroussement d'une courbe plane et située dans son plan peut être regardée comme une sécante sur laquelle deux points d'intersection se sont réunis en un seul, et par conséquent comme une tangente; mais, si l'on considère une droite qui roule sur la courbe, lorsque le point de contact sera arrivé au rebroussement, la droite aura une position déterminée, celle de la tangente au rebroussement, qui a trois points de section confondus, et qui seule présente tous les caractères de tangente à la courbe en ce point.

52 LIVRE VI. — SURFACIiS DEVELOPPAr.LnS.

D'après cola, tous les plans contenant la tangente de la courbe gauche en M [fig. 238) sont, sous certains rapports, tangents à la surface des développantes, mais cependant le plan de rebroussement doit être considéré comme le plan tangent en ce point.

445. Si l'on projette une courbe gauche sur un plan quelconque, tous les points de la surface des tangentes, voisins d'un point quelconque M de la courbe {/îg. 233), se trouveront d'un même côté de sa projection w, celui de sa convexité. Une ligne gauche présente donc sur la surface de ses tangentes le caractère de contour apparent, par rapport à tout plan de projection, ce qui montre, d'une nouvelle manière, qu'elle forme arête de rebroussement.

Définition, génération et principales propriétés des surfaces déveioppahics.

444. On appelle surfaces développables celles qui, supposées flexibles et inextensibles, peuvent être déroulées sur un plan, sans déc/iirure ni diiplicature.

Quand un polyèdre est formé d'une série de faces planes A, B, C, ..., qui se succèdent {Jig. 234)i après l'avoir ouvert le long d'une arête Q, on peut amener l'une des faces contiguès D dans le plan de la suivante C, par un mouvement de rotation autour de l'arête commune P, puis toutes les deux dans le plan de la troisième B, et développer ainsi toute la surface ('). Si, au contraire, les faces planes du polyèdre ne forment pas une seule série, elles seront coupées par d'autres faces, il y aura des angles trièdres, et dans le développement il sera nécessaire d'ouvrir chacun d'eux; la surface sera donc non pas seulement déformée, mais décomposée.

Ainsi un polyèdre développable est celui qui est formé d'une série de faces planes qui se succèdent, et dont par conséquent les arêtes peuvent être regardées comme les intersections consécutives d'un plan mobile, considéré dans diverses positions. Cette proposition, étant indépendante du nombre et de la grandeur des faces, subsistera si on les suppose de plus en plus nombreuses et petites, et enfin à la limite quand le polyèdre sera devenu une surface courbe, l-ne surface développable est donc V enveloppe des positions d'un plan mobile.

445. Les caractéristiques sont des ligues droites, intersections des plans qui forment les enveloppées particulières. Lessurfaces développables sont donc re'^/e'e^, c'est-à-dire qu'elles peuvent être engendrées par le mouvement d'une ligne droite.

Nous avons vu qu'une enveloppée touche l'enveloppe en tous les points de la caractéristique correspondante (art. 452); une surface développable est donc tangente à un même plan le long de chacune de ses génératrices rectilignes.

(') Celle déformalion esl la même que celle que nous avons expliquée à l'article tlT pour un prisme sans base.