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qo LIVRE VI. — SUnFACES DEVELOPPABLES.

Les formules que nous avons obtenues supposent que les directrices A et A' ne sont pas des hyperboles ayant leurs asymptotes croisées, car alors les plans coordonnés seraient imaginaires. Plusieurs des théorèmes que nous obtiendrons sont indépendants de l'existence de ces plans et par conséquent généraux, mais pour donner plus de précision ii notre étude, nous la restreignons au cas où les quatre lignes doubles sont réelles. Nous indiquerons plus loin comment on peut obtenir des formules applicables au cas où les plans de deux lignes doubles sont imaginaires (art. 330 ^

o28. La première des équations (5) montre que le centre de chacune des directrices A et A' est le pôle du plan de l'autre par rapport à la surface inscrite. Les pôles de A" et de A'" par rapport à la même surface sont à l'inliin, dans des directions déterminées et indépendantes de l'abscisse a. Ainsi les plans des lignes doubles ont les mêmes pôles par rapport à toutes les surfaces du second ordre inscrites. Il est d'ailleurs facile de voir que le pôle de l'un quelconque des plans est l'intersection des trois autres plans.

Nous allons maintenant rechercher quelle relation existe entre les pôles d'un plan, autre que ceux des lignes doubles, par rapport aux surfaces inscrites.

La surface étant donnée par l'équation (3), l'équation du plan polaire d'un point [x' ,y', z') sera

D'après cela, on trouve facilement, pour déterminer les coordonnées x' , y et =' du pôle d'un plan quelconque

les formules

A/,- , I5y.= , Cv=

et, remplaçant ),-, [j? et v- par leurs valeurs ^5),

, i — ka

En éliminant n entre la première de ces équations et chacune des deux autres, on obtient les équations de la ligne des pôles du plan par rapport aux surfaces