CHAPITBE II. — SURFACES D OMBRE ET DE PÉNOMBRE

du second ordre inscrites dans la développable

-T- c- 1 x' -+- z' = Ce- (

a \Aa- C/ c'- « \A rt -

Nou s voyons que les pôles d'un plan quelconque par rapport à toutes les surfaces du second ordre inscrites dans la déi'eloppahle sont en ligne droite (-). La trace de cette droite sur le plan d'une directrice et par rapport à celte courbe est le pôle de la trace du plan.

529. Si nous porlons les valeurs (5) dans l'ëquation (3), nous aurons l'équalion générale des surfaces du second degré inscrites dans la développable

' lû — au u[b'' — b'') -\- ab- u[c'^ — c')-i-ac^

Nous allons chercher les points où uuc surface inscrite rencontre les directrices A et A'. Si nous remplii^'ons successivement x, y, z par o, /3, y et par a, fi', -/, l'équation (G) nous donnera

u{b'' — b^) -i- ab^ u{c''' — c^

n[b'' — b-) -^ ab- u[c'^ — c') -^ ac'' a

L'élimination de -f- et de •/'- entre ces équations et les équations (i) et (2] art. l-9i-), qui représentent les courbes A et A', donne

Ces équations déterminent les ordonnées des points où la surface considérée coupe les directrices A et A' de la développable; en éliminant u entre elles, nous aurons la relation qui existe entre les ordonnées des poinis des deux courbes qui appartiennent à une même surface inscrite. Cette élimination, qui est très-facile, conduit à l'équation (9) de l'article i98; lorsque nous l'avons établie, nous considérions simplement les ordonnées des points de A et de A' qui sont sur une même

( ' ) Chacune do ces deux équations représente, sur l'un des plans coordonnés qui contiennent la ligne des centres, le lieu des pùles de la Irr.ce du plan considéré par rapport aux traces des surfaces inscrites.

(''] M. l'oncelet [I\Iéiiioire sur la tlicoiic ^é/ic'/iilc des polaires réciproques, p. 39 [Juiinial île Crclle,l.\y]].

génératrice, mais les variables /3 et [j n'y entrant qu'au carré, elle exprime la relation qui existe entre les ordonnées des points de ces courbes qui appartiennent à un groupe, car tous les points d'un groupe sur A ou sur A' ont les mêmes ordonnées en grandeur absolue (art. 519). Les huit points où les directrices A et A' coupent une surface inscrite dépendent donc d'un groupe, et les huit droites qui forment ce groupe ayant chacune deux points sur une surface du second ordre, et lui étant d'ailleurs tangentes, en sont des génératrices. Ainsi donc cJiaque surface du second ordre inscrite dans la développahle la coupe suivant huit droites {réelles ou imaginaires) qui composent un groupe; réciproquement les huit droites d'un même groupe déterminent un hyperholoïde inscrit dans la développahle.

Si l'on veut connaître la position du centre de l'hyperboloïde d'un groupe déterminé, il faut résoudre l'une ou l'autre des équations (7); elles donneront la même valeur pour u, car les carrés /3- et /3'" doivent avoir entre eux la relation établie par l'équation (9) de l'article 498.

Dans notre exercice, les hypcrboloïdes des groupes réels ont tous leur cen trc sur le segment LK de l'arc Ax [fig. 261 ).

530. Nous allons maintenant chercher l'équation de la développahle, en la considérant comme l'enveloppe des surfaces représentées par l'équation (6). Si l'on ordonne celte équation par rapport au paramètre variable u, on obtient

en posant

B = ^ 4 ^ ^' -^ (^c — c-)y- -h [sb- — b-}z-

(ix — a),

b'~ c^ -\- b^c'^ ib^c"^ ,

C = — '- x'- — ac' y- — ah' z' — h- c" {2X — à ,

Si l'on attribue ax, y et :; les valeurs des coordonnées d'un point déterminé de l'espace, suivant sa position, l'équation (8) aura une ou trois racines réelles, et, comme une enveloppée correspond à chaque valeur réelle de u (art. 527), on voit que l'espace se trouve partagé en deux régions : trois enveloppées passent par chaque point d'une région, et une seule par chaque point de l'autre. Les deux régions sont séparées par une surfiice en tout point de laquelle passent trois enveloppées dont deux sont confondues en une seule. Cette surface est par conséquent le lieu des intersections successives des enveloppées, c'est-à-dire l'enveloppe. Les