CHAPITRE PREMIER

PARAROLOIDKS.

Définition. — Doiihlr système de g;énér(ttrlees rectilignes. — Plans tangents.

.">8o. Nous avons dit (art. ir>2) que l'on appelle surfaces gauches celles qui, étant réglées, ne peuvent pas élre développées sur un plan, et nous avons montré que les surfaces réglées sont en général gauches. Il résulte de là que les surfaces développâmes ne sont qu'une variété des surfaces gauches. Une surface gauche peut être déterminée par trois directrices (art. 4o2), ou par deux directrices et un cône directeur (art. 467); mais, dans chaque cas, il est nécessaire d'examiner si les données sont telles que les plans tangents aux divers points d'une ilénérallice quelconque se confondent, car alors la surface serait développahle.

Nous avons toujours supposé que le lecteur connaissait les principales propriétés des surfaces du second ordre, et par conséquent du paraboloïde hyperbolique, et de l'hyperboloide à une nappe ; mais, comme ces surfaces gauches jouent un rôle fort important dans les arts graphiques, nous devons les étudier sous le rapport des constructions auxquelles leur emploi donne lieu. Nous commencerons par le paral)oloïde.

o80. On ^^\\ii\\(^ paraboloïde liyperholiquc la surface engendrée par une droite qui se meut en rencontrant deux directrices rectilignes à dislance Unie on à l'infini, et en restant parallèle à un plan qui remplace le cône directeur de l'article 467. Cette surface admet comme variétés :

1° Le système de deux plans Q et Q, qui se coupent :

Quand une des directrices AB est parallèle au plan directeur P, l'autre .\,R, étant quelconque [fig. 207;;

Quand les directrices AB, CD sont dans un même plan et non parallèles au plan directeur (//i^. 207, a).