CHAPITRE I. — PARAROLOIDES

2" Le système de deux plans parallèles Q et Q, {fig. 21 1) quand les deux directrices AB et A, B, sont parallMos au plan directeur P et non parallèles entre elles.

Lorsque les directrices sont parallèles entre elles au plan directeur, toute droite qui leur est parallèle satisfait aux conditions imposées aux génératrices, et par suite la surface n'est pas déterminée.

Nous supposerons toujours que les directrices n'ont aucune des positions relatives exceptionnelles qui viennent d'être énumérées, et alors la surface sera gauche comme ayant des directrices rectilignes (art. 461-). Nous la désignerons par le seul nom de paraboloïde.

587. Les plans coordonnés que nous prendrons dans l'étude du paraboloïde sont le plan directeur P et un plan Q parallèle aux deux directrices. En général, ces plans ne sont pas perpendiculaires l'un à l'autre. Un point M aura pour projetantes sur les plans P et Q {Jîg. 280) deux droites >Im et M/?/,, perpendiculaires à la ligne de terre et respectivement parallèles aux plans Q et P.

Il n'y a pas dans ce système de modifications à apporter aux constructions ordinaires relatives aux questions dans lesquelles il n'entre aucune considération de perpendicularité ou de grandeur d'angle, telles que la recherche de l'intersection de deux plans, des traces d'une droite, etc. Quand on fait des rabattements, il faut avoir égard à l'obliquité des projetantes qui est égale à l'angle des plans coordonnés.

Pour la facilité du langage, nous supposerons que le plan directeur P est horizontal.

088. Les directrices sont (A, A') et (A,, M^) [fig. 27G); puisqu'elles ne se trouvent pas dans un même plan et qu'elles ne sont pas parallèles au plan P, leurs projections horizontales A et A,, qui, d'après les dispositions adoptées, doivent être parallèles à la ligne de terre, sont nécessairement distinctes, et leurs autres projections A' et A', rencontrent la ligne de terre.

Une droite quelconque B', parallèle à la ligne de terre, est la projection sur le plan Q d'une génératrice, car le plan horizontal B' coupe les directrices en deux points (M, M'), (M,, M',), et la droite (B, B') qu'ils déterminent satisfait aux con- «litions.

Du point de concours 0' des projections A' et A', abaissons une droite O'O, perpendiculaire à la ligne de terre : les triangles semblables IM,ojO et I\[,c3I donnent

Le second rapport est égal à .,, '.,, et par suite à rri?; : il est donc indépendant ' ' <^ i\l, M ' ]N, N '

de la position de la génératrice considérée (B, B'); de plus la distance .Me est