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l3o LIVRE VII. — SURFACES GAUCEIES.
constante; on conséquence lo point 0 est fixe sur la droite O'g, perpendiculaire à la ligne de ferre. Nous voyons ainsi que les projections de toutes les génératrices sur le plan P passent par un même point 0.
589. Nous allons maintenant déterminer la trace de la surface sur un plan A, parallèle à Q. La génératrice (B, B') le rencontre en un point (.Mo, M'o), et l'on a, en ayant égard au parallélisme des droites MM', M,. M', et M. M',.
MM, M' ;m',
Le premier rapport est celui des distances des droites A et A,, A, et Aj; le second a donc la même valeur, quelle que soit la position de la génératrice considérée (B, B'), et par suite le lieu des points M'^, projection sur le plan Q do rinlerscction de la surface par le plan A^, est une droite qui passe au point de concours 0' des projections A' et A',. Tout plan parallèle à Q coupe donc la surface suivant une droite; le paraboloïde admet ainsi un système de génératrices rectilignes pour lesquelles le plan Q est directeur. Les projections de ces nouvelles génératrices sont parallèles à la ligne de terre sur le plan P cl passent par un même point sur le plan Q. Les directrices (A, A'), (A,, A', ) sont des génératrices de ce second système.
Nous voyons que le paraboloidc admet deux systèmes de génératrices rectilignes.
La droite B, qui joint les traces N et N, des directrices est une génératrice du système P, et forme la trace horizontale du paraboloïde.
590. Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent, car leurs projections sur le plan P ont nécessairement un point commun tel que 31.,, et ce point n'est la projection que d'un seul point du paraboloïde, puisque le plan parallèle à Q et passant par Mo coupe la surface suivant une droite.
Il résulte de la proposition que nous venons d'établir ([uiine génératrice de l'un des systèmes rencontre toutes les génératrices de l'autre système, et par suite que deux génératrices quelconques de l'un des systèmes peuvent être prises pour directrices de celles de l'autre système.
Les projetantes des points 0 et 0' sont des génératrices qui appartiennent respectivement aux systèmes Q et P, et par conséquent la surface sera déterminée si l'on donne sa trace B, sur l'un des plans directeurs et le point de concours 0' des projections de ses génératrices sur l'autre, car, la projetante de ce point étant une génératrice du même système que B,, ces deux droites peuvent être prises pour directrices.
Deux génératrices d'un même systèrrie ne se rencontrent pas, car leurs projections sont parallèles sur l'un des plans directeurs et convergentes sur l'autre.
On voit qu'il existe entre les génératrices des deux systèmes un parallélisme complet de propriétés géométriques.
CIlAl'ITnK I. — PAr.AnOLOIDK. loi
591. Un paraboloidc (''lant donné par sa trace horizontale OK {Jtg. 279) et le point de concours 0' sur le plan Q, on déterminera iinmédiafement la seconde trace KO' et le point de concours 0 sur le plan horizontal.
Pour avoir la projection sur le plan Q d'un point de la surface dont on se donne la première projection M, on construit la projection N'O' de la génératrice du système Q dont la projection horizontale est MN, et on relève le point M en M' sur N'O'. Il y a toujours une solution, et par conséquent tout point de l'un quelconque des plans directeurs est la projection d'un point de la surface.
La génératrice du systi-me P qui a ponr projection horizontale OME se projette sur le plan Q suivant l'iiurizontale M'E'. Si la droite indéfinie OME, tournant d'une manière continue autour du point 0, se place sur Om, se confond avec la parallèle IJ à la ligne de terre et revient à sa première position après une révolulion de 180°, la génératrice qu'elle représente s'élèvera, se projettera sur m'e, s'éloignera a l'infini en devenant parallèle à ay, et, reparaissant au-dessous du plan horizontal, viendra reprendre sa position initiale (O.AIE, M'E').
Nous voyons donc (|ue, si par un point pris clans le plan directeur de l'un des systèmes on mène des droites parallèles aux génératrices de ce système, elles occuperont autour du point toutes les positions possibles , et qu'?7 }' a dans chaque système une génératrice située tout entière à l'infini. Les deux génératrices à l'injini sont paralr lèles à l'intersection des plans directeurs.
o92. Un plan passant par la génératrice (OE, M'E') {fig. 279) a pour trace horizontale une droite LN parallèle à OE. La génératrice du système Q dont la trace est N rencontre la première génératrice en un point (M, M') et a ainsi deux points dans le plan considéré. Ce plan, contenant les deux génératrices qui se croisent au point (M, M'), est tangent en ce point à la surface.
Leplantournantautourdcla génératrice(OE,M'E'),sa trace devient successivement N,L,, NoLo, ..., le point de contact s'éloignera en (M,, M',), (Mo, M'o), ...; il se trouvera à l'infini (juand le plan sera horizontal, puis il reparaîtra de l'autre côté du point (M, M'), et il reviendra à ce point quand le plan achèvera une rotation de 180°. Ainsi àonc tout plan qui coupe le paraboloide suivant une gèncratiice contient une génératrice de l'autre système et est tangent ci la surface à leur point de rencontre; quand il est parallèle au plan directeur du système auquel appartient la génératrice considérée, l'autre génératrice et le point de contact sont à l'infini; pendant une rotation de i 80" de ce plan autour de la génératrice, le point de contact parcourt la longueur indéfinie de cette droite.
Le plan tangent en un point donné (M, M') contient les deux génératrices qui se croisent en ce point; ou détermine ses traces NL et LE' sans dilticullé.
r32 LIVRE VU. — SURl'ACES GAUCHES.
Sections planes. — Diamètres. — ^-ixe. — Plans diainétraiix.
595. Nous allons maintenant thorclier l'intersection par un plan (MF, HE'). {fig. 282) d'un parabolo'ule déterminé comme précédemment par ses traces KJ, Kl', par les projections 0 et 0' des génératrices perpendiculaires à l'intersection des plans directeurs, et par l'angle Z,yY, de ces plans.
Un plan horizontal x'y' coupe le paraboloïde et le plan sécant suivant deux droites NOn et Gm, dont le point de rencontre (M, M') appartient à rinterseclion.
En menant par le point 0 une parallèle à HF, on détermine une génératrice [\b,\'h') parallèle au plan. On trouve de la même manière, dans le système Q, une génératrice (J«/^ Viib') parallèle à la trace HE' et au plan. A chacune de ces génératrices correspond une branche infinie.
Pour avoir les asymptotes, il faut prendre l'intersection du plan sécant avec les plans tangents de la surface aux points de la courbe situés à l'intini, c'est-à-dire avec le plan passant par (IZ*, Vb') et parallèle à P, et avec le plan passant par (Ji,J'i') et parallèle à Q, car ces plans sont respectivement tangents aux points des génératrices (1^,1'^') et (J 6, J'^') situés à l'infini. On trouve les droites (FL\,E' A') et (F/nA,F'm'A').
Les triangles semblables mn}\ et bnO donnent
jn'Sl X bn = 60 X mn ;
mais les droites Y b' et F' A' sont parallèles à la trace HE' du plan, et par conséquent parallèles entre elles : il suit de là que les longueurs bn et A;« d'une part, mntii FJ de l'autre, sont égales comme projections de segments égaux et parallèles. L'équation nous donne donc
mM X \m = bO X FJ.
Les facteurs du premier membre sont les coordonnées du point M par rapport aux asymptotes AE et AF de la projection horizontale. Le second membre est constant; la courbe est doncune hyperbole sur le plan P,et parsuitedans l'espace.
Le point de concours 0 étant la projection d'une génératrice entière, la courbe cM r/doit nécessairement y passer. Le point de concours 0' appartient pour le même motif à la seconde projection c'yUd' de l'intersection. La génératrice qui se projette tout entière au point 0 perce le plan sécant en un point dont on détermine facilement la projection 0', sur le plan Q. La génératrice du système P qui passe par le point (0, 0',) est (0/, 0',/'). '
On peut construire une tangente soit par les propriétés spéciales de l'hyperbole, soit comme intersection du plan tangent et du plan sécant. Nous avons employé
