Déterminer la distance d'un point donné à un plan donné

11 faut abaisser du point une perpendiculaire sur le plan, et trouver sa longueur.

Soient (P, P') le plan (Jig. 36) et (a, a') le point; la perpendiculaire a pour projections les droites ab et a'b' respectivement perpendiculaires aux traces P et P'; elle rencontre le plan au point (6, b') (art. 31), et en faisant tourner autour de la verticale de ce point le plan qui la projette sur le plan horizontal, jusqu'à le rendre parallèle au plan vertical, on détermine la longueur b'a\ de la droite (ab, a' 6') (art. 16).

44. Par une droite donnée faire passer un plan perpendiculaire à un plan donné.

Soient (P, P') le plan (^g. 3']) et (D, D') la droite. D'un point (a, a') pris arbitrairement sur cette droite nous abaissons une perpendiculaire (ab, a'b') sur le plan (art. 43), et nous construisons les traces du plan(Z>g-, c'e')qui passe par cette perpendiculaire et par la droite donnée (D, D') (art. 19).

4d. Par un point donné faire passer un plan perpendiculaire à deux plans donnés.

11 suffit de déterminer l'intersection des deux plans donnés (art. 25), et de mener par le point donné un plan perpendiculaire à cette droite (art. il). Sou-

l6 MVlîK I'. - DES I.IC.NKS I»U01TKS ICT DES PLANS.

vent, pour l't'iidrc les tracés commodes, on devra transporter les plans paiallëleluent à eux-mêmes.

On peut encore abaisser du point donné des j)erpendiculaircs sur les plans (art. iO) et construire les traces du plan déterminé par ces droites (art. 19).

Angles (le droites et de phi/is.

4(>. Quand deux droites sont a angle droit, leurs projections sur un plan parallèle ci l'une d'elles sont il angle droit.

Considérons d'abord deux droites kC et ^\)(fig. 38) rectangulaires entre elles et parallèles au plan de projection P. Leurs projections ac et bd sont à angle droit, car si l'on joint deux points C et D, le triangle BCD et sa projection dbc auront leurs côtés égaux comme côtés opposés de parallélogrammes, et cette égalité entraîne celle des angles B et h.

En général, la projection n'altère pas la forme des figures situées dans des plans parallèles à celui sur lequel on les projette.

Supposons maintenant (jue la droite BD tourne autour du point B en restant perpendiculaire à AC; elle prendra différentes positions BD,, BD.,... dans le même plan projetant BDèr/ qui est perpendiculaire à AC, parce qu'il contient les droites BD et Bèqui rencontrent AC à angle droit. Toutes les droites perpendiculaires à AC auront donc pour projection la droite bd perpendiculaire à eic.

47. Déterminer l'angle de deux droites données par leurs projections.

Soient (D, D') et (G, G') {fig- Sg) deux droites qui se rencontrent en un point (a, a'). Pour avoir l'angle qu'elles forment, il suffit de rabattre leur plan sur l'un des deux plans de projection, par exemple, sur le plan horizontal.

Les traces des droites considérées sont les points b et c, et par suite la droite bc est la trace de leur plan. La pci-pendicnlaire abaissée du point («, a') sur bc se projette sur la droite ae perpendiculaire à bc (art. 46 ).

Quand le plan des deux droites a été rabattu sur le plan horizontal par une rotation autour de bc, la perpendiculaire qui était projetée sure« se trouve placée dans la direction de cette droite, et en portant sa véritable grandeur de e en A, nous avons à ce dernier point la position du rabattement du point {a, a'). Comme d'ailleurs les points è et c sont fi.xes, l'angle bXc est l'angle cherché. Dans un problème d'application, il pourrait y avoir lieu de prendre son supplément.

iNous avons obtenu la véritable grandeur de la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle sur la trace du plan, en portant la longueur ae de sa projection horizontale sur la ligne de terre de «„ en e^, et en traçant aV-^ (art. U>).

Nous aurions pu déterminer la position du point A, en cbercbant les longueurs des di'oites b\ et cIS,, mais la coMstruclion eût clé un peu plus longue.

c iiAriiKi-; II. - lU i:sTi(i\s iiivi;ksi;s. 17

Oiiconsidèi'c (jurlciiiplois l'angle, de deux droites qui ne se rencontrent pas; c'est l'angle que lornient deux parallèles à ces droites menées par un point quelconque. i-8. Lorsque sur chaque plan de projection la trace de l'une des droites se trouve hors du cadre de la tigure. il faut rabattre le plan des droites sur un plan parallèle à l'un des deux plans de projection, et choisi de manière que ses intersections avec les droites considérées puissent être utilisées.

Surlayîi,'-. 40 ce plan auxiliaire est horizontal et a pour trace verticale X|Y,. Les droites (l), D') et((i, G') le rencontrent aux points (/>, b') et(c, c'). On fait tourner le plan de ces lignes autour de la droite {bc, h' c') jusqu'à ce qu'il soit dans le plan horizontal X, Y, : les tracés sont ensuite les mêmes que ceux de la

i9. On peut ex[)liquer la consti'uction que nous venons d'exposer, en supposant que la ligne de terre ait été transportée en X,Y,. Le plan horizontal s'est ainsi trouvé élevé de la hauteur de b„b', et le plan vertical reculé de la même quantité. Ces translations ne modifient évidemment en rien ni les projections de la figure de l'espace, ni leur position relative.

Quand une épure contient seulement des projections, la position de la ligne de terre n'a d'utilité que pour la ponctuation; il suffit de connaître sa direction, pour pouvoir résoudre les problèmes relatifs au système géométrique représenté. Ainsi la longueur de la droite {ab, a'b') (Jîg. i4) est a'b\, à quelque hauteur que la ligne de ferre soit placée sur la figure. D'après cela, quand, sur une épure du genre de celles dont nous parlons, il devient nécessaire de considérer des traces, ainsi que cela a lieu sur \?ifig. '\o, on peut mettre la ligne de terre à la hauteur qui parait la plus convenable pour les constructions.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces notions, mais nous avons cru devoir signaler dès à présent le déplacement de la ligne de terre comme un des procédés les plus simples de la Géométrie descriptive, pour maintenir les tracés dans le cadre de l'épure.

50. La/ig. '(I présente la solution du prohiènie de l'angle de deux droites, quand l'une d'elles est parallèle à l'un des plans de projection.

La droite (D, D') étant parallèle au plan vertical, nous pouvons la prendre pour axe d'un mouvement de rotation par lequel nous ramènerons le plan des deux droites à être parallèle au plan vertical.

La perpendiculaire abaissée sur la droite (D, 1)') d'un point ( b, b' ) de la droite (G, G') a pour projections la droite b'e' perpendiculaire àD' (art. 46 ), et la droite correspondante be. Sa vraie grandeur est l'hypoténuse i'e, du triangle rectangle b'e'e, dont le côté e'e, est égal à la différence eb, des projetantes des deux points {e, e) et {b, b' ) (art. 14-). Portant la longueur e, b' de e' en B', nous obtenons la projection B' du point (b, b') quand le plan des droites est devenu parallèle au plan vertical. L'angle cherché est Wa'e'.

\. — I)l. LA GolRNtKll,. — Desciiptiic. 3

l8 LlVlili 1". — DES LIG.NKS UllUITES ET DES l'I.WS.

51 . l'ar tiii point donne, faire passer une droite cpil reneontre une droite donnée sous un angle donné.

Soient (a, a) le point (fig. 4'^) et (D,D' ) la droite. Après avoir tracé l'horizontale a' g' , et déterminé ainsi le point {g, g') situé sur (D, D) à la même hauteur que (a, a'), nous considérons le plan qui contient les droites (D,D') et (ag,a g'), et nous le faisons tourner autour de cette dernière droite de manière à le rendre horizontal. Un point quelconque ( b, b') de la droite donnée décrit un arc de cercle dont le centre se projette, sur le plan horizontal, au pied e de la perpendiculaire abaissée du point b sur ag; le rayon est égal à l'hypoténuse b'e, du triangle rectangle b' b^e^ dont le côté è,e, est égal à ^e fart. 14). Portant donc cette longueur à partir du point e dans la direction eb, et joignant le point B ainsi obtenu au point g qui n'a pas changé, on trouve que la droite est maintenant (B^, b,g'). On trace sur le plan horizontal la droite aK faisant avec B^K l'angle donné; quand on relève le plan, le point K décrit un arc de cercle qui se projette sur la droite K^- perpendiculaire à l'axe ag, et s'arrête au point k de la droite D. La droite cherchée est (aX-, a'k'). Le problème admet une seconde solution, si le sens dans lequel l'angle doit être mesuré n'est pas déterminé.

On peut résoudre par cette construction le problème de la perpendiculaire abaissée d'un point sur une droite, déjà examiné à l'article 41.

On remarquera que, sur ïesfg. 4i et 43, il n'y a pas de traces, mais seulement des projections, et que, conformément aux observations de l'article 49, la position de la ligne de terre n'est utile que pour déterminer la ponctuation ; la hauteur à laquelle elle se trouve n'influe en rien sur les tracés.

52. L'angle aigu d'une droite avec sa projection sur un plan est plus petit que les angles aigus formés par la droite avec les autres lignes du plan.

Soient AB la droite considérée (Jig- 42), Ai sa projection sur un planP, et kc une droite du plan.

Prenons des longueurs égales Xb et Ar, élevons èB perpendiculaire au plan, cl joignons le point B au point c.

Les triangles BAè et BAc ont deux côtés respectivement égaux, et le troisième côté Bè du premier est plus petit que le côté correspondant Bc du second, parce que ces droites abaissées d'un même point sur un plan sont l'une perpendiculaire et l'autre oblique à ce plan. D'après cela l'angle BA/> est }>Ims pdit (]ue BAr. Le théorème énoncé est donc démontré.

Si nous considérons les angles supplémentaires de ceux que nous venons d'examiner, nous verrons que BAc est plus grand que BA/, e( par suite que tous les angles obtus formés par AB avec les diverses lignes du plan.

Une droite est perpendiculaire à un plan quand elle l'est à sa projection sur ce plan; elle est couchée dans le plan quand elle se confond avec sa projection. D'après cela, on voit (juc rani^ir d'une dfoili' avc<' sa projectinn sur un |)lan l'ail