Déterminer r angle de deux plans donnés
Considérons d'abord dans l'espace deux plans dont les traces sur un plan fixe H sont aV et aQ {Jig. 48a) et qui se coupent suivant la ligne aB dont la projection est ab : si par un point ^, de aB, et dans les deux plans, on conçoit les droites g^m ci g^n perpendiculaires à aB, l'angle mg^n mesurera le dièdre compris entre les plans, et la construction du triangle mg^n fera connaître ce dièdre.
Le plan mg,n étant perpendiculaire à aB, sa trace mn est perpendiculaire à ab (art. 40 ), et par suite au plan projetant baB, et à la droite rg, qui y est contenue. La ligne rg, est aussi perpendiculaire à aB, parce qu'elle se trouve dans le plan mg,n. Cette circonstance permet de déterminer la hauteur rij-, du triangle mg,n, dont la base mn se trouve sur le plan H.
Soient maintenant (P, P') et (Q, Q') les plans donnés (Jig. 44 et 44 ^")- La droite ba est la projection horizontale de leur intersection. Une droite mn perpendiculaire à ba peut être considérée comme la trace d'un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans donnés.
Ce plan auxiliaire coupe les plans (P, P' ) et (Q, Q' ) suivant deux droites qui comprennent l'angle cherché, et qui forment un triangle avec la ligne mn. En faisant tourner ce triangle autour de m/i. le sommet décrit un arc de cercle dans
20 I.IVI'.K I". — DKS LIGNKS IH'.OITKS FT M:S PIANS.
le plan vertical ((il>, !>!>' ) perpendiculairi' ii inn, et vient se plaeer snr m en un certain point ^ qu'il s'agit de déterminer.
La ligne /-^ considéi-ée dans l'espace, avant son rahallenient. est perpemlienlaire à l'intersection des plans donnés, parce qu'elle esl dans le plan auxiliaire. D'après cela nous obtiendrons facilement sa longueur en rai)attant le plan vertical (ah, 1)1)') sur l'un des plans de projection. Si nous choisissons le plan vertical, les points r et a se transportent en r, et o,, l'intersection des plans se place en h'a^, et la perpendiculaire r^i^\ est la longueur qu'il faut porter sur la ligne ra, à partir du point /-pour avoir le point g. L'angle cherché est ryign.
Si les deux plans ont leurs traces parallèles sur un des plans coordonnés, par exemple, sur le plan horizontal (//§■. 4*>). leur intersection sera horizontale et parallèle aux traces; le plan auxiliaire deviendra vertical, et la hauteur rg du triangle mng sera égale h la projetante bh' .
o7. L'intersection «B ijig. ^\'6a) est perpendiculaire à toutes les lignes du plan mg^ji. Si donc nous rahattons le plan ( P, P' )( Jig.[\!\) sur le plan horizontal, il suffira d'ahaisser du point m une perpendiculaire sur le rahattement de l'intersection, pour avoir la longueur du côté mg du triangle ingn.
Traçons du point h la lii;ne 6/ perpendiculaire à P. La droite qui va dans l'espace du point h' du plan vertical au point / du plan horizontal est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les cotés sont hb' et bi\ sa longueur est b'i\; elle rencontre perpendiculairement en i la trace P, et par suite, quand le plan tourne autour de la droite P, le point {h, h') vient se placer sur le prolongement de hi, en un point B, à une distance iB égale à Z/'?',. Le rahattement de l'intersection est donc aB; il n'y a plus |)our avoir le point g qu'à ahaisser la perpendiculaire mG, et à ramener le point G sui' la ligne /r/ par un arc de cercle ayant son centre en /«.
Cette construction est un peu moins simple que la précédente; mais elle deviendrait plus facile si, pour des constructions antérieures, l'un des plans donnés avait déjà été rahattii.
On peut encore l'ésoudre le pidhlènu; en abaissant des perpendiculair(^s snr les plans d'un jioinl pris dans l'intérieur de l'angle que l'on veut connaiire, et en construisant l'angle de ces droites qui est supplémentaire de celui que l'on cherche. En prenant le point sur l'un des plans de projection, dans une position convenahle par rapport aux traces, on sera assuré (pi'il se trouve dans le dièdre que l'on considère.
58. Déterinincr l' angle qa un plan donne forme avec le plan horizontal.
Soit(P, P' ) le plan {/ig. VS). Par un point ([uelcon(]ue g Ai' P, concevons nu plan vertical perpendiculaire ii P; il coupe le plan horizontal et le plan donné suivant deux droites qui comprennent entre elles l'angle cherché. L'une d'elles esl la perpendiculaii'e i;/* il !', l'aulreva du point i?" au point ^Où la verticale/^//, Irace (in plan auxiliaire, lencunlre la trace P' du plan donné.
CIIVPITRE II. — OTESTIONS DIVKnSES. a 1
Faisons maintenant tourner le plan vertical (h<][, hb') autonr de hb' pour le rabattre sur le plan vertical de piojeclion : le point i,Ma en i^-, et l'aui^le cherché est hg, b'.
On opérerait d'une manière analogue pour avoii' l'annle du plan donné avec le |»lan vertical.
C/irtngrjNCf/f des plans de projection.
39. Il est quelquefois utile d'abandonner les plans coordonnés primitifs pour en prendre d'autres qui, eu égard à la nature du problème, soient plus convenablement placés par lapport à la figure de l'espace. Il faut alors déterminer les nouvelles projections des lignes données. Nous avons déjà étudié cette question dans des cas simples (art. 52-ôi ) ; nous allons compléter cette théorie.
Connaissant les projections de divers points sur deux plans coordonnés, trouver la projection de chacun d'eux sur un plan vertical quelconque que l'on rabat sur le plan horizontal.
Soient {m, m'), (p, p'), ... les points donnés (Jig. 49). et X, Y, la trace du nouveau plan vertical.
La nouvelle projection m" du point {m, m' ) doit être à une distance de la nouvelle ligne de terre X,Y, égale à la hauteur du point au-dessus du plan horizontal, c'est-à-dire à la distance ///„/«' de la première projection verticale m' à la première ligne de terre XY. Donc, si nous traçons par le point m la perpendiculaire mm, à la ligne de terre X, Y,, et que nous prenions sur cette droite la dislance m, m" égale à m^m'. le point m" sera la nouvelle projection verticale du point ( in.m' ).
Le point m" peut être placé indilïéremment d'un côté ou de l'autre de la ligne de terre X,Y,, parce que rien ne détermine d'avance le sens du rabattement du nouveau plan vertical. Tous les points qui, sur le premier plan vertical, ont leur projection du même coté de la ligne de terre XY que m' , auront leur nouvelle projection du même côté de la droite X, Y, que m".
fiO. Nous allons maintenant examiner le cas général.
Connaissant les projections d'un point sur deux plans coordonnés, trouver ses projections sur deux plans rectangulaires donnés que l'on rabat sia- les premiers.
Soient {m, m') le point (Jig- I7 ), (P, P') un des nouveaux plans et (A, A ) son intersection avec le second plan.
Nous rabattons le plan (P, P') sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace P, et nous allons chercher d'abord où se place la droite (A, A' ) qui doit être notre nouvelle ligne de terre X, Y,.
Nous prenons un plan (xy, aa ) vertical et perpendiculaire à la trace P, et nous le l'abattons sur le plan borizoïilal. Un point qucdconque ( /", /' ) de ( A, A' )
22 LIVliK I". — DES LIGNES DROITKS ET DES PLANS.
se projette sur ce plan auxiliaire en un point r" situé à la même liauteur audessus de xy que /•' l'est au-dessus de XY. I.()rs(jue nous faisons tourner le plan (P, P') autour de P, le point (/•, /■" ) déci'it un arc de cercle et se place en r, . Le point h de la droite (A, A) n'a pas changé de position, et appartient par suite à notre nouvelle ligne de terre X, Y,, qui est ainsi r, h.
Le plan (P, P') étant perpendiculaire au plan auxiliaire, sa trace P' sur ce plan passe par la projection /■" de l'un quelconque de ses points.
Nous obtenons la projection m" du point (w, m!) sur le plan vertical xy en opérant comme pour le point (r, /■'); nous projetons m!' sur P" en /?, puis, rabattant le plan (P, P') sur le plan horizontal, nous voyons que la projection se place en m',. La projection sur le second des plans coordonnés est en /«',, à une distance de X, Y, égale à ml'n.
Pour bien comprendre ces opérations, on peut supposer que le plan auxiliaire soit transporté parallèlement à lui-même jusqu'à passer par le point {m, m'); c'est la position qu'il faudrait lui donner, si l'on ne cherchait les nouvelles projections que de ce seul point.
Le point m', peut être placé indiflëremnient d'un côté ou de l'autre de la droite X,Y,, parce que rien ne détermine d'avance le sens du l'abattement du second plan sur le premier. Tous les points qui, sur le plan auxiliaire, sont du même côté de P" que m" devront être sur le nouveau plan de projection du même côté de X,Y| que iri^. Une observation analogue doit être faite pour les projections sur le plan (P, P' ) : un point tel que m, sera placé d'un côté ou de l'autre de la trace P, suivant le sens du rabattement.
Les nouveaux plans de projection ne sont pas l'un horizontal et l'autre vertical; cependant, dans les questions abstraites, on les désigne souvent par ces expressions, et cela facilite le langage; mais dans les applications les objets oui des positions déterminées, et l'on cesserait d'être intelligible si l'on appelait horizontales des droites qui sont visiblement inclinées à l'horizon ( ').
Pour arrivera nos projections détinitives nous avons construit une projection sur un plan perpendiculaire à l'un des anciens plans coordonnés et à l'un des nouveaux. Cette projection intermédiaire est quehjuefois utile par elle-même pour la solution du problème.
Nous allons maintenant étudier une (|ueslion (|ui nous donnera l'occasion d'appliquer les tracés que nous venons d'expliquer.
61. Déterminer la plus roiirtc distance de deux droites données qui ne sont pas dans un même plan.
Nous supposons d'abord que le plan vertical est parallèle aux deux droites
(') \.a Jig. I ne doit jamais ôlro appelée une projoclion horiziuilale, môme quand on considère la droiU' XZ comnie une lii^nc de lei're.
CH.\PITHE II. — nUKSTIoNS DIVEHSKS. 23
données (A, A') et (B, B') {fig. 49). Les projections verticales se rencontrent nécessairement en un point m', car sans cela les droites de l'espace seraient parallèles, et par suite dans un même plan.
La droite projetée sur le point 7/2' est évidemment perpendiculaire aux deux droites, et aucune autre sécante ne peut l'être, car sa projection verticale serait perpendiculaire aux deux convergentes A' et B' (art. 47), ce qui est impossible.
Si l'on se reporte à la construction que nous avons donnée pour avoir la distance de deux points (art. 14), on reconnaîtra que la longueur nm de la perpendiculaire est plus petite que celle des autres droites qui ont leurs extrémités sur les deux droites données.
Nous voyons donc que, quand deux droites ne sont pas dans un même plan, elles ont une commune perpendiculaire qui mesure leur plus courte distance, et que cette ligne est immédiatement donnée de grandeur et de position quand les deux droites sont parallèles à l'un des plans de projection.
62. Supposons maintenant que les droites données (A, A") et (B, W){Jig. 49) aient leurs projections horizontales parallèles entre elles, mais non pas à la ligne de terre X, Y, ; pour connaître la grandeur de la plus courte distance, nous n'aurons qu'à mesurer l'écartement des droites A et B; mais, si nous voulons avoir la position de la commune perpendiculaire, il faudra prendre un nouveau plan vertical dont la trace XY soit parallèle à A et B, et déterminer les projections A' et B' des droites sur ce plan ; leur point de rencontre m' fera trouver sur le plan horizontal la ligne ma qu'on relèvera en m'n".
On eût pu rabattre le plan XY sur le plan vertical X, Y, en le faisant tourner autour de la verticale du point Y. La droite YZ eût alors été la ligne de terre des deux projections qui se fussent trouvées disposées comme les^^. i et 4-
