Nous arrivons maintenant au cas général

Les droites données sont (A, A') et (B, B') (Jïg. 5o). La ligne (B,, B'), menée parallèlement à la seconde par le point (g, g') de la première, détermine avec celle-ci un plan (P, P'). Nous prenons un plan auxiliaire de projection (xy, ee ) perpendiculaire au plan horizontal et à (P, P' ); et nous le rabattons sur le plan horizontal.

Les deux droites (A, A')et(^B, B'jont pour projection sur ce plan une droite A", trace du plan(P, P' ); la droite (B,B'j se projette sur une droite B" parallèle à la précédente, et qui, par conséquent, peut être déterminée par un seul point, tel que/?", projection de la trace horizontale/?.

L'écartement des droites A" et B " donne la distance cherchée (art. 6'i ).

Pour avoir la position de la commune perpendiculaire, il faut prendre un nouveau plan de projection parallèle aux droites et perpendiculaire au plan vertical xy; ce sera (P, P'). Nous pouvons le rabattre, soit sur le plan auxiliaire en le faisant tourner autour de A", soit sur le plan horizontal par une rotation

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auloiii' (le P; nous avons adopté celle (Ici'iiii'rc disposilion. Opérant conime il a été expliqué à l'article 60, on trouve que les nouvelles piojections des droites sont A'" etB'". La commune perpendiculaire se projette en ///" : nous ramenons cette ligne d'abord en mn, puis en ni n' .

La projection m" ii" sur le plan auxiliaire est perpendiculaire à A" et à B".

Dans le rabattement autour de P, la trace P' va se placer sur la droite qui passerait par les points L et e", et par suite le point L est à des distances égales de e' et de e" . Ce dernier point est donc sur un arc de cercle décrit du point L comme centre avec he' pour rayon.

64. Si l'une des droites était verticale, la commune perpendiculaire se projetterait sur le plan horizontal en vraie grandeur, et suivant une perpendiculaire à la projection de la seconde droite. On peut donc résoudre le problème, dans le cas général, en pienani un plan de projection perpendiculaire à l'une des droites.

Enfin, nous indiquerons deux solutions par les procédés ordinaires, en conservant les plans coordonnés.

1° Un plan P {fig- «oa ) mené par la droite A parallèlement à H, e( un plan H mené par la droite H perpendiculairement à 1', se coupent suivant une droite M dont l'intersection 1 avec A est l'une des extrémités de la droite cherchée. Car, si par ce point on élève une perpendiculaire au plan P, elle sera perpendiculaire à A, à M, et à la droite B parallèle à M.

2" L'intersection G (fig- 49«) d'un plan P perpendiculaire à A par un plan Q perpendiculaire à B est parallèle à la droite cherchée; l'une des extrémités de cette ligne est le point 1 où la droite A rencontre le plan passant par B et parallèle à G.

Quand les projections de la comniune perpendiculaire sontconnues, on trouve sa grandeur par les procédés ordinaires (art. li).