LI\ HE I". — DES LIGNES DROITES ET DES PLANS

en {(j, (]'). A|)rôs avoir obtenu la droite d'intersection (a, a'), nons l'avons reportée dans sa véritable position (A, A) en prenant Hl$ et QC (|uintuples de Rè et de \\c.

Cnnstrurtioii.'! diverses.

68. Tracer une droite qui passe par un point ilonné et par le point éloigné où (feux droites données se rencontrent.

Soient A le point, P et Q les droites (Jig. 53). Nous construisons le triangle ABC dont un sommet est au point A, çt les deux autres sur les droites données; puis nous traçons bc parallèle à BC, et par les points è et c nous menons des parallèles à BA et CA; leur point de concours a appartient à la droite cherchée, car les deux triangles étant homothétiques, c'est-à-dire semblables et semblablement placés, les droites qui passent par les points homologues concourent vers un même point qui est le centre de similitude (')- .

On tracera généralement la droite BC parallèle h la ligne du cadre de l'épure, de manière que bc puisse être formé par un segment de cette ligne; mais la condition essentielle h laquelle il faut satisfaire, c'est que les diverses intersections se fassent sous des angles assez ouverts.

69. Abaisser une perpendiculaire sur une droite R, du point éloigné oiï deiur droites P f / Q se rencontrent (Jig. T)/})-

Des points a et b où la droite R coupe les droites P et Q, nous abaissons des perpendiculaires respectivement sur P et Q; leur point de rencontre c appartient à la perpendiculaire cherchée. On sait, en effet, que les trois perpendiculaires abaissées des sommets d'nn triangle tel que PQR sur les côtés opposés concourent vers un même point c La perpendiculaire abaissée de ce point sur R est donc la droite cherchée.

( « ) Nous supposons que ce théorème est connu du lecteur ; il est du reste très facile de le démontrer. Appelons I et J les points où la droite ka rencontre les droites P et Q; les triangles \ab, iac respectivement semblables à lAB et .IAC donnent

fi\ ah ri.] tic

A (I +^I "" au" ÂTTTrtJ ^ AC'

Les seconds rapports de ces proportions sont égaux, vu la similitude des triangles ABC et (tlic\ donc les premiers rapports sont égaux; do la proportion i|u'ils loriucnt, on lire

par suite, les longueurs Al ol A.l sont égrdes, ut les points I et .1 se coulundi-nl.

CHVIMTHE IV. - PROBLÈMES RELATIFS MX ANGLES TRIÈDKES. 27