PROBLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈORES

70. Un angle trièdre présente trois angles plans et trois angles dièdres; nous allons voir que, quand trois de ces six angles sont donnés, on peut déterminer les autres.

Nous désignerons para, [î et y les angles des faces, et par A, B, C les angles dièdres qui leur sont respectivement opposés. Nous considérerons toujours ces derniers comme représentés par des angles plans d'un même nombre de degrés.

Pour la facilité du langage, le plan de la figure sera supposé horizontal.

Premier cas.

71. Connaissant les faces a, [i et y d'un angle trièdre, trouver (es angles dièdres A,Be/C.

Nous traçons par un point S {Jig. 55) les droites Se, Se, SaetSè, comprenant entre elles les angles plans donnés a, ^, y; et nous considérons les deux espaces angulaires èSc et b^ Sa comme les rabattements de deux faces de l'angle trièdre sur le plan horizontal de la troisième face cS«.

Prenons sur Sb et Si, deux points M et M, également éloignés de S, et traçons les droites MEw, M, Dm respectivement perpendiculaires à Se et Sa; si nous relevons les deux faces rabattues, en les faisant tourner autour de Se et de Sa, les points M et M, décriront des arcs de cercle qui auront leurs centres, l'un en E et l'autre en D, et qui se projetteront sur ME/n et M, \)m. Ces arcs sont sur une sphère dont le centre est en S et dont le rayon est égal à SM et à SM, ; le point de rencontre m de leurs projections est la projection d'un point de la sphère où ils se coupent. Les droites S^ et SZ*, se confondent donc lorsqu'elles se projettent sur Sot; l'angle trièdre est alors recomposé.

Lorsque la droite EM est parvenue à sa position définitive, elle forme avec sa projection E/n et avec la projetante du point M un triangle rectangle dans lequel l'angle en E mesure l'angle dièdre C. Nous connaissons l'hypoténuse et un côté de ce triangle, nous pouvons donc le construire. Si nous le rabattons sur le plan horizontal par une rotation autour de sa base otE, son sommet se placera au point m' où la droite mm' perpendiculaire à otE rencontre l'arc décrit du point E comme centre avec EM pour rayon. L'angle m'Em est l'angle chcrclié C.

iS UWU'. I". - DES LIGNKS DROITES ET DES PF.ANS.

On trouve de la même manière la grandeur m\T)m de l'angle dièdre A. Les droites /n«z' et/wn',, étant des ral)attements d'une même projetante, doivent être égales.

Si le point m se trouvait au delà de Se, l'angle C serait ohtiis, et l'on obtiendrait sa grandeur en prenant le supplément de l'angle toujours aigu m'Em. Quand le point m est dans l'angle opposé au sommet à cSn (J/g. 55 a), les deux angles A et C sont ohtus.

72. Tous les points de la sphère dont nous avons parlé se projettent sur le plan horizontal, dans l'intérieur d'un cercle décrit du point S comme centre avec SM pour rayon (//g. 55). Quand les droites ME,.M,D se rencontrent hors de ce cercle, leur point d'intersection n'est la projection d'aucun point de la sphère; par suite, les arcs décrits par les points I\I et M, ne se coupent pas, et il n'est pas possible de composer un angle trièdre avec les angles plans donnés.

Si nous faisons varier la grandeur de l'angle «SA,, ou y, le point r?i prendra diverses positions sur la droite M/>, et, d'après ce que nous venons de voir, quand il sera sur les prolongements de celte corde, le problème n'aura plus de solution. Or, il est facile de reconnaître que, si le point m se trouve au delà de // ou en deçà de M, c'est que l'angle y est plus petit que la différence aSix {fig- Sy), ou plus grand que la somme aSti, de [î et de a. Il faut donc, pour que l'angle trièdre existe, que l'un quelconque des angles plans soit plus petit que la somme des deux autres.

Si cette condition n'était pas satisfaite, le triangle Emm' ne pourrait pas être construit, car l'hypoténuse Em', qui est égale à EM ou En, se trouverait plus petite que le côté Em.

La discussion que nous venons de faire est complète pour le cas où l'angle bSa, somme des deux angles a et p que nous supposons invariables, est inférieur à 180°; mais, quand il dépasse cette grandeur, c'est son supplément à 36o° qui est la limite supérieure de l'angle y. Nous ne nous arrêterons pas à cette étude, qu'il est facile de faire sur une figure établie pour ce cas.

Il existe ainsi une seconde condition : l'angle dièdre n'est possible que quand la somme de ses trois angles plans est inférieure à 3Go".

75. Nous n'avons déterminé que deux des trois angles dièdres; pour obtenir le troisième, en conservant aux angles donnés leur disposition sur \i\/ig. 55, nous traçons les lignes MG et M, H respectivement perpendiculaires à Sb et à S6,; ces lignes comprennent dans l'espace l'angle B quand les faces cS>b etaSè, sont remises en position; elles lorment alors un triangle dont la base est GH, et qu'on peut facilement construire rabattu sur le plan horizontal. Son sommet M' est déterminé par deux arcs de cercle ayant pour centres G et H, et pour rayons GM et HM,. L'angh; GM'H est l'angle cherché A.

Le plan du triangle est perpendiculaire à la troisième arête : sa trace GH doit

cil VPITRIi IV. — PROBLÈMES liliLATIlS AUX ANGLES TRIÈDRES. 2f)

ctrp, par conséquent, perpendiculaire à la projection Sot de cette droite (art. 40). Dans le rabattement, le sommet du triangle se meut dans le plan dont la trace est S/77, et le point M où il vient se placer doit être sur cette trace.

7-i. Rien n'indique dans la construction si l'on a fait tourner les plans cSi et rtS/7, de manière à les élever au-dessus du plan de la figure ou à les abaisser au-dessous de lui : cela montre que les deux angles trièdres, qui peuvent être composés par ces mouvements différents, ont les mêmes angles dièdres. Ils ne sont pas superposables, mais symétriques.

On peut placer dans un ordre quelconque les (rois angles donnés, ils correspondent toujours à un même angle trièdre et à son symétrique.

7o. Le point N (/ig. jj) est à égale distance des points M, et m' , parce qu'il se trouve sur les axes Sa et En des deux rabattements. On peut donc déterminer la position du point 77?' sur l'arc M//?', par un second arc décrit du point N comme centre et passant par M,. Nous allons donner un exemple de cette construction qui est préférable h celle que nous avons exposée, quand on ne cherche que l'angle dont l'arête est Sr.

Dans le levé des plans, on a souvent besoin de réduire un angle à l'hoi-izon. c'est-à-dire de déterminer la projection horizontale d'un angle connu y dont les côtés font, avec la verticale abaissée du sommet, des angles donnés a et [3.

Cette verticale et les deux côtés de l'angle y sont les arêtes d'un angle trièdre dont on connaît les trois angles plans. La projection demandée est l'angle rectiligne qui mesure le dièdre des faces verticales.

Par un point S {fig- 36) nous traçons quatre droites Se, Se, Sa et Se, formant entre elles les angles a, ^ et y; la seconde de ces droites est verticale. Nous considérons les deux espaces angulaires bSc et è, Sa comme les rabattements de deux faces de l'angle trièdre sur le plan vertical de la face rSa.

Nous prenons un plan horizontal déterminé par une ligne de terre EN; il coupe l'arête S6 en un point M que nous rapportons en M, sur le second rabattement S/7, de cette droite, par un arc décrit du point S comme centre.

Supposons maintenant que l'on fasse tourner les faces bSc et 6, Sa respectivement autour de Se et de Sa pour recomposer l'angle trièdre; le point M décrira dans le plan horizontal un arc de cercle, dont le point E sera le centre et la droite E.M le rayon; le point M, restera toujours à la même distance de N. Nous pouvons donc déterminer par recoupement le point 77?' du plan horizontal où les points M et M, se rejoindront. L'angle réduit à l'horizon est NE777'.

La seule différence avec la /?g'. 55, c'est que nous avons rabattu la face bS>c sur la face a Se et non en dehors.

Dans cet exercice, nous avons supposé les angles placés sur un plan vertical, poui' avoir égard à la nature des données.

'^O I.IVr.i: 1'. - DKS LIGNES IJHOITES ET DES PLANS.

Dcit.viriiie cas.

7<>. Connaissant deux faces a et [i d'an angle trièdrc et l'angle dièdre C qu'elles comprennent, trouver la troisième face y et les deux autres angles dièdres A et B.

Par un point S (fig. j8), nous traçons trois droites S6, Se et Sa qui comprennent entre elles les angles plans donnés a et P; puis, d'un point M pris arbitrairement sur S6, nous abaissons une perpendiculaire MN sur Se.

Pour placer la face b'èc dans sa véritable situation par rapport à aSc, il faut la l'aire tourner autour de Se, jusqu'à ce que la droite ME l'orme avec EN l'angle donné C. Cette droite ME, sa projection sur EN et la projetante du point M sont alors les trois côtés d'un triangle rectangle dont nous connaissons l'hypoténuse ME et l'angle en E égal à G. Nous pouvons construire ce triangle sur le plan de la figure en supposant qu'il ait tourné autour de sa base. Nous obtenons ainsi la projection m du point M de l'espace.

La position M, du point M, lorsqu'il est rabattu avec le plan de la troisième l'ace, est sur la circonférence décrite du point S comme centre, avec SM pour rayon, sur la perpendiculaire à Sa abaissée de la projection m du point de l'espace, et sur la circonférence décrite du point N comme centre, avec Nm' pour rayon. Nous avons donc une vérification.

La droite MN peut être considérée comme une ligne de terre; Em' est alors la trace verticale du plan de la seconde face.

Les trois angles plans sont maintenant connus; on achèvera la solution du problème comme il est dit aux articles 71 et 75. 11 n'y a pas de cas d'impossibilité.

Troisicme cas.

77. Connaissant deux faces a et ^ d'un angle trièdre, et l'angle A oppose à lune d'elles, trouver la troisième face y et les deux autres angles dièdres B et (1.

Par un point S {fig. ;j9) nous traçons trois droites Sh, Se et Sa, qui comprennent entre elles les angles plans donnés a et [3. Nous menons ensuite une droite xYl perpendiculaire à Sa, et nous la considérons comme la trace d'un plan vertical que nous rabattons; son intersection avec la troisième face est alors la droite Kj qui fait avec Kx l'angle donné A.

Toutes les données sont maintenant sur la figure.

D'un point M de S^ abaissons une perpendiculaire iMN sur Se : si nous concevons que la face iSe soit ramenée dans sa véritable position par une rotation autour de Se, les points M, E et N seront les sommets d'un (riangio dont deux côtés EN et EM sont connus; le troisième côté, considéré comme une droite

niVriTRE IV. — PRORLÈMES RELATIFS AUX ANGLES TRIÈDRES. 3l

indéfinie, a un do ses points projetés en r, car le plan du triangle est vertieal.

En élevant la perpendiculaire r/', àrK, nous déterminons sur Kvlo point/, du plan de la troisième lace qui se projette en r; la grandeur de la projetante est donc rr^. Si, par une rotation autour de EN, nous rabattons sur le plan horizontal le triangle dont nous avons parlé, le point qui se projette en r se placera en r à une distance de EN égale à rr, . La droite dont un segment forme le troisième côté du triangle est ainsi Nr'.

En décrivant un arc de cercle du point E comme centre et avec EM pour rayon, on détermine sur Nr' les points m', et /n'^, qui peuvent être inditTéremment adoptés comme sommet du triangle ou rabattement du point IM de l'espace.

Nous connaissons les distances de ces points au point N et leur éloignement du point S, qui est MS; nous pouvons donc déterminer par des arcs de cercle leurs positions M, et Mo quand la troisième face est rabattue sur le plan horizontal. On pourrait aussi déterminer les projections m^ et m.^ sur EN, et abaisser de ces points des perpendiculaires sur Sa.

Les droites Kr et Nr' sont les traces du plan de la troisième face sur les plans verticaux, dont les lignes de terre sont Kx et Ne. La construction pour déterminer Nr' revient à celle que nous avons exposée pour le changement du plan vertical de projection (art. 59).

Pour avoir les grandeurs de l'angle C, il suffira de joindre les points m\ et m., au point E. L'angle B sera donné par la construction expliquée à l'article 75.

78. On obtient autant de solutions que le demi-cercle Mn a de points communs avec la droite indéfinie Nr'. Un point de rencontre de cette droite avec l'autre moitié du cercle correspondrait à un angle trièdre dans lequel l'angle dièdre le long de Sa serait supplémentaire de A.

D'après cette règle, et pourvu qu'on ait soin de faire toujours les rabattements dans le même sens, par rapport au sommet S, que sur \a ftg. Sq, on reconnaîtra facilement s'il y a une ou deux solutions, ou si l'angle trièdre est impossible.

Sur \^fig. Sç) bis, on ne trouve qu'une solution. Le point rabattu en /•' et en r\ est au-dessous du plan horizontal.

Nous donnerons plus loin (art. lôî)) une solution différente et plus simple du problème de l'angle trièdre dans le troisième cas.

Quatrième cas.

79. Connaissant une face [3 d'un angle trièdre et les deux angles dièdres adjacents A et C, trouver les deux faces a. et ^ et le troisième angle dièdre^.

Après avoir tracé deux droites Se et Sa {fig- 6o) comprenant entre elles l'angle donné [3, nous pr'enons deux plans verticaux respeelivemenf perpendicu-