CHAPITRE l". — COLRBES PLANES ET SLHFACES CÛLKBKS. 4q

cette dernière ligne autour d'un de ses points P, de manière que le point de rencontre m prenne successivement dilTérentes positions w,, m.^, . . . , en s'éloignant indéfiniment vers la gauche; dans une certaine position la sécante sera parallèle à AB : le point de rencontre, toujours unique, sera alors k l'intini sans qu'on puisse le supposer plutôt d'un côté que de l'autre. Si la sécante continue son mouvement de rotation, le point revient de l'infini par la droite de la figure.

On voit qu'on peut considérer une droite comme une courbe fermée, dans laquelle un point situé à l'infini forme la jonction des deux bras qui s'étendent dans les directions opposées.

Quand une courbe se développe indéfiniment, elle a ainsi un point situé à l'infini, et elle ne s'arrête pas plus à ce point qu'à tout autre; un second bras distinct du premier doit s'étendre vers le même point situé à l'infini.

Une courbe a autant de branches infinies qu'elle a de points situés à l'intini. Chaque branche est formée de deux bras qui se rejoignent à l'infini.

92. Nous avons dit (art. 83) qu'une courbe ne présentait pas d'angle, c'està-dire que les deux parties n^^l et NM {fîg. 65), qui se réunissent en un point quelconque M, ont la même tangente 3IT. En d'autres termes, les sécantes MN et M«3 se confondent, lorsque les points N et n^ sont réunis en M. Quand le point M est à l'infini, la tangente commune des deux bras RC, QE qui s'y rejoignent {Jig- 71) est appelée asymptote.

Il arrive quelquefois que la tangente d'une courbe au point situé à l'infini se trouve tout entière à l'infini ; on dit alors que la courbe n'a pas d'asymptote.

On obtient une asymptote, comme toute autre tangente, en considérant une sécante RN, et en la faisant mouvoir de manière que les points de section R et N arrivent ensemble à l'infini. On peut prendre deux points R et Q sur les deux bras et les réunir à l'infini, en les éloignant indéfiniment en sens opposé; au moment où ils se confondent, la sécante RQ devient asymptote.

Quelques courbes présentent des points multiples et des rebroussements à l'infini; nous étudierons ces circonstances plus loin. Nous nous bornerons à dire ici que, pour les lignes de ce genre, on n'est pas assuré d'avoir une asymptote en faisant mouvoir une sécante de la manière que nous venons d'indiquer. 11 faut pouvoir considérer une droite GH qui rencontre la courbe au point situé à l'infini, et la transporter parallèlement à elle-même jusqu'à ce qu'un point de section P rejoigne celui-là.

93. On considère quelquefois des courbes qui se modifient graduellement, telles qu'un cercle dont le rayon varie et dont le centre parcourt une ligne. Quand la courbe n'a ni point multiple ni rcbroussement, et qu'elle n'éprouve dans sa forme aucun changement brusque, une sécante fixe ou mobile devient tangente dès que deux points de section se confondent en un seul. Si la réunion a lieu à l'infini, la droite est asymptote.