I. — De la Gucrnerie. — Descriptive

5o I.IVUE 11. — CVLhNUHES, CONKS HT SUlU-ACliS DK liKN OLL TlU.N.

î)i. Considérons le cercle déterminé par (les cunditions de tonclier en un point M une (tourbe a^ {,Jig- 72 ), et de passer par un autre point N de cette ligne. Si l'on suppose que le point N se déplace, le cercle se modifiera; il aura un contact plus intime avec la courbe, lorsque ce point de section sei'a réuni au point de tangence M. On dit alors que le cercle e?,l osculatcur.

L'arc MN n'existant plus, le cercle est du côté de la convexité de la courbe sur la gauche du point M {Jig- 73), tandis que sur la droite il est toujours resté du côté de la concavité : il la traverse donc en M sans cesser d'avoir la même tangente. Cette propriété est caractéristique du cercle osculateur, car, si le point N continuant son mouvement passe à droite de M (fig. 71^), l'arc du cercle compris entre eux se trouvera du côté de la partie convexe de la courbe.

Si l'on considère la série des cercles qui passent par un point d'une droite, et qui ont leur centre sur cette ligne, on verra que l'un d'eux, celui qui a son centre à l'infini, se transforme en une ligne droite. Il peut donc arriver que la tangente remplace le cercle osculateur et en ait les propriétés; elle traverse alors la courbe, et il y a inflexion (art. 87).

A un point de rebroussement de première espèce le rayon du cercle osculateur est généralement nul; on le reconnaît facilement en considérant un rebroussement comme une feuille réduite à un point.

Le cercle osculateur peut se trouver exceptionnellement d'un même côté de la courbe, près du point de contact. Cela arriverait si, quand le point N se confond avec M {fig. 72 ), le point P s'y réunissait aussi.

1)3. Considérons sur une courbe deux points M et G (Jig- 74) peu éloignés l'un de l'autre, et les droites MO et GO qui sont perpendiculaires aux tangentes, c'est-à-dire normales; en divisant l'arc MG par le nombre abstrait qui indique la grandeur de l'angle MO(j, l'angle droit étant représenté par la moitié du rapport de la circonférence au diamètre, nous aurons une longueur qui, si la courbe était un cercle, serait égale au rayon. Supposons maintenant que le point G se rapproche indéfiniment de M : plus l'arc MG sera petit, moins il différera de l'arc correspondant à l'angle MOG dans le cercle osculateur en M, et la

limite du rapport ^tj^t^ sera le rayon de ce cercle. L'angle ]\IOG est égal à celui

des tangentes en M et en G; on l'appelle angle de conlingence quand on le considère à la limite. On dit alors qu'il est infiniment petit, et que le |)oiut G est infiniment voisin du point !\L

Le cercle osculateur fait apprécier la courbure d'une ligne en un poiiil : plus son rayon est grand, plus la courbure est petite. D'après cela, le cciilre du cercle osculateur est souvent appelé centre de courbure, cl smi rayon rayon de courbure.

Î)G. Si une courbe roule sur une autre courbe en lui l(•^>lalll toujours tan-

CIlVPITIiE I". - CiX'RRES PI,\>'E.S ET SURIACES COURBES. tj

gente, lorsque l'arc compris entre un des points où elles se coupent et le point de contact devient nul, il y a osculation ou tangencc du second ordre, et les courbes se traversent. Si deux points de section se réunissent en même temps au point de contact, la tangence s'élève au troisième ordre, et les courbes ne se traversent pas.

Dans l'osculation, les courbes ont trois points communs réunis en un seul; dans la tangence du troisième ordre elles en ont quatre, et ainsi de suite, car on considère quelquefois des contacts d'un ordre plus élevé.

97. Une ligne regardée comme la solution d'un problème spécial peut avoir des points d'arrêt; ainsi le diamètre d'un cercle, lieu des milieux d'une série de cordes parallèles, est une droite limitée aux points où elle rencontre la circonférence; ainsi encore la projection horizontale d'un cercle situé dans un plan vertical est un segment de droite.

Les parties d'une ligne qui forment la solution d'un problème spécial dont on s'occupe sont appelées utiles, et les autres parasites.

98. Une courbe est géométrique quand elle est soumise dans sa génération à une loi déterminée; on la dit graphique lorsqu'elle a été tracée d'après des conditions qui ne sont pas susceptibles d'être mathématiquement définies, telles que celle d'avoir une forme gracieuse. Les considérations que nous venons de présenter ne sont complètement applicables qu'aux courbes géométriques.

Une courbe graphique n'existe que là où elle est tracée; elle n'a donc ni partie parasite ni branche infinie. Elle peut avoir des points d'arrêt et des angles; mais dans les parties où sa courbure parait bien continue, on doit la considérer comme une courbe géométrique, et les considérations que nous avons développées pour les tangentes et les rayons de courbure lui sont applicables.

Certaines lignes participent de la nature des deux genres de courbes dont nous venons de parler : ce sont celles que l'on obtient en projetant les courbes graphiques, ou en leur faisant éprouver diverses autres transformations géométriques. Nous nous bornons, quant à présent, à signaler ces lignes.

99. Le cercle est la seule courbe géométrique qu'il soit facile de tracer d'un mouvement continu. Il existe pour quelques autres lignes des compas fort ingénieux, mais il y a presque toujours quelques difficultés à les ajuster et à les placer dans la position convenable pour l'arc que l'on veut avoir : aussi les instruments de ce genre ne sont que très peu employés.

En général, pour tracer une courbe géométrique, on détermine d'après la loi de sa génération un nombre de points suffisant pour que sa forme soit bien déterminée, puis on les réunit par un trait continu que l'on corrige jusqu'à ce (|u'il présente une apparence satisfaisante. C'est un travail auquel il est essen-

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tiel de former son œil et sa main, lorsqu'on veut s'occuper des arts graphiques. Toutes les fois que la forme de la courbe n'est pas nettement accusée, il faut chercher de nouveaux points, ou mieux encore construire des tangentes. En général, on doit éviter de trop multiplier les points : de petites erreurs peuvent s'introduire dans leur position, par suite de l'imperfection des tracés, et alors, si leur nombre était très srand, on serait conduit à donner à la li^ne une courbure ondulée qu'elle ne doit pas avoir.

Bien que dans les applications on ait rarement besoin de tracer sur de grandes longueurs les branches des courbes qui s'étendent à l'infini, il est cependant souvent nécessaire de déterminer les asymptotes, afin de bien comprendre la disposition des différentes parties.

100. Pour mener une tangente à une courbe graphique par un point donné hors de la courbe, on fait passer une règle par ce point, et on la fait tourner jusqu'à ce que son bord affleure la courbe. Sa position est alors bien déterminée.

On ne peut pas opérer d'une manière analogue (|uand c'est le point de tangence C qui est donné {ftg. 73). La position limite de la règle présente alors beaucoup d'incertitude si la courbure de la ligne est un peu grande.

On prend sur la courbe deux ou trois points en deçà du point C et autant au delà, on trace les sécantes qui passent par ces divers points et par le point C, et on les coupe par un arc de cercle décrit du point C comme centre. On porte sur chaque sécante Co, à partir de l'arc, une longueur «a égale à la corde AC, et de manière que le point a soit du même côté de a que le point A de (]; enfin on trace une courbe par les points a, [51, 0, . . . ainsi obtenus : elle coupe l'arc de cercle en un point c qui appartient à la tangente, car la corde doit être nulle sur la droite Cr.

Si nous faisons tourner la droite At^a autoui' du point C, il pourra arriver que, dans une certaine position Vp, la corde PC soit égale au rayon du cercle abc. Le point a sera alors en C, et la droite ACfl, ordinairement sécante de la courbe auxiliaire, lui sera devenue tangente.

Si la courbe coupait l'arc de cercle sous un angle trop petit, on pourrait la modifier en portant sur les sécantes des longueurs doubles des cordes.

Les courbes auxiliaires du genre de celles (|ue nous venons d'employer sont appelées rouihcx d'erreur. Nous allons donner un autre exemple de ce mode de solution.

loi. Lors(|iu' l'on a tiacé une tangente à une courbe gi'a|)hique par un point extérieur, on a quelquefois besoin de déterminer son point de contact d'une manière plus précise qu'on lu; pourrait le fairt; à la simple vue. Il existe pour cela une construction assez facile.

Nous menons des sécantes parallèles à la (anç;enle TT' '^/ig. j*)), et par les