CHAPITRE I". - COURHES PI.VNES ET SIREACES COI RUES

points où elles rencontrent la conrbe nous leur élevons de côtés différents des perpendiculaires sur lesquelles nous portons, à partir de la tangente TT', des ordonnées égales aux cordes déterminées par la courbe donnée sur les Sécantes. Ainsi les longueurs aa et a,rt, sont égales à AA,. Les points a, b, c, c,, b,, a,, étant déterminés d'après une même loi, appartiendront à une courbe qui passera évidemment par le point cberché. et qui sera continue si la proposée l'est ellemême.

La première sécante (X, doit être aussi rapprocbée de la tangente que le permet la condition essentielle qu'il n'y ait pas d'incertitude sur la position précise des points où elle coupe la courbe. La seconde sécante BB, étant également peu éloignée de la première, il arrivera souvent que les quatre points b, c, c^ et b, seront h peu près en ligne droite. La ligne aMa, serait même rigoureusement droite, si la proposée était symétrique par rapport à sa normale au point M.

La courbe d'erreur coupe la tangente TT, sous un angle dont la tangente trigonométrique est égale à 2.

Il n'est pas nécessaire que les ordonnées soient exactement perpendiculaires à TT, ; il suffit qu'elles soient bien parallèles (' ).

102. On a souvent des moyens exacts pour tracer des tangentes aux courbes géométriques; dans tous les cas, on peut appliquer à ces lignes les procédés que nous venons de faire connaître pour les courbes graphiques.

S'il s'agit de mener une tangente à une courbe en un point (Jig. 70), on appuiera la construction sur des points A, B, D, E qui auront été déterminés directement. Il ne sera pas nécessaire que la courbe soit tracée.

La construction exposée à l'article 101 pour avoir le point de contact d'une tangente (Jîg. 76) exige que la courbe soit tracée, ou au moins que l'on connaisse des points situés sur des parallèles à la tangente. La construction serait encore juste si les sécantes étaient soumises dans leur position à une même loi, mais on ne pourrait pas opérer sur des points A, B, C espacés d'une manière arbitraire.

105. On emploie quelquefois une courbe d'erreur pour déterminer, sur la normale d'une courbe, la position du centre du cercle osculateur, mais ces tracés exigent beaucoup de soin quand on veut opérer avec exactitude. On obtient le centre de courbure avec un degré de précision qui suffit généralement dans la pratique, en le supposant d'aboid un peu loin sur la normale, et le rapprochant progressivement jusqu'à ce que le cercle tangent, d'abord complètement extérieur dans la partie voisine du point de contact, arrive à traverser la courbe.

104. Supposons que l'on prenne sur une courbe un certain nombre de points.

C) En modifianl légèrement la eonsiruction que nous venons d'ex|iliquer, on résout le problème qui consiste à drtermincr le point il 'une ronriw iloiinc'c oii l/i ttingentc fst ptirnllèlc à une drinle doniice.

51 i.i\i;i; II. cM.iMiiiKs. coNKs i",r si ai ac.ks dk iîkvoh tion.

el qu'on li's consiilère <-omnie les sommets d'un polvironc; celte figure diU'erera beaucoup de la eourbe; mais, en muif i|iliaiit progressivement le noml)re des côtés, on diminuera la différence, et l'on roneoit (|ue, si cette opération était poursuivie indétininient, le polygone se rapprocherait aussi indéfiniment de la ligne considérée. C'est ce que l'on exprime en disant (\n'itnr courbe es! un polygone d'un nombre infini de côtés infinimenl petits.

Cette considération permet d'étendre aux courbes les propriétés des polygones qui, comme les théorèmes de similitude, sont indépendantes du nombre et de la grandeur des côtés.

Nous vovons donc (|u"il y a des courbes semblables entre elles : les grandeurs linéaires homologues y sont dans un même rapport; les cordes homologues comprennent les angles égaux. Quand ces cordes deviennent parallèles, les figures ont un centre commun de similitude et sont homothétiques (art. 68).

105. La direction d'une ligne en un point est celle de sa tangente en ce point. L'angle de deux courbes qui se rencontrent est déterminé par l'angle de leurs tangentes au point commun. On les dit nornuiles l'une à l'autre lorsqu'elles se coupent à angle droit.

Un diamètre ç%i le lieu des milieux d'un système de cordes parallèles.

Un axe est un diamètre rectiligne perpendiculaire aux cordes qu'il partage en parties égales.

La projection d'un diamètre d'une courbe es! évidemment un diamètre de la projection.

Surfaces cdiirhcs.

106. Vnc surface est le lieu des positions d'une courbe (/ui se meut et qui cane de forme suivant des lois continues. Cette courbe se nomme génératrice.

Une même suriace peut être considérée comme engendrée par une courbe mobile et variable, d'une infinité de manières différentes.

Quand la génératrice est assujettie à rencontrer certaines courbes, ces lignes prennent le nom de directrices.

Les génératrices et les directrices ne sont pas toujours planes, mais nous les supposerons telles jusqu'il ce que nous ayons considéré les courbes qui ne sont pas comprises dans un même plan et (lue l'on appelle gauches. Cette restriction ne nous empêchera pas d'étudier les surfaces d'une manière générale, car on peut toujours les regarder comme engendrées par des courbes planes.

Nous supposerons eiitin (|iie la génératrice el les directrices sont des courbes géométri(|ues.

107. lue suifacc |»cul avoir des pallies parasites. Si l'on considl're un |)lan comme élaiil eiigeudre par une droite toujours laiigeiilc ii nu cercle, la surface

cil Vl'ITHK 1'. — COLKbK.S l'L\.Mi.S KT SLKlACliS CULliliEs;. r>J

(lu cercle. (|uoi(|iie faisant [)artic du j)laii, no sera pas comprise dans la détiiii- (ion.

Un cercle engendre une zone spliéri(|ne lorscju'il tourne autour d'une droite qui rencontre la perpendiculaire élevée à son plan par son centre. Les parties delà spiière situées en deçà et au delà de la zone sont rattachées à cette génération comme parties parasites.

108. .SY trois courbes A, B, C ijui se croisent en un point M {Jig. 77) appartiennent à une même surface, leurs tangentes en ce point sont dans un même plan .

Pour le prouver, nous considérons la courbe A comme appartenant à un système de génératrices situées dans des plans parallèles. L'une d'elles «. peu éloignée de A, rencontre les courbes B et C en des points n et /•, et les trois sécantes M/2, M/' et «/'sont dans un nième plan. Ce résultat ayant lieu pour les diverses génératrices, tant en deçà qu'au delà de A, subsiste nécessairement pour la courbe A; les sécantes sont alors tangentes aux trois lignes considérées; leur plan t'»t\e plan tangent de la surface.

Il résulte de là qu'en un point d'une surface le plan délerniiné par les tangentes à deux des courbes de la surface qui passent par ce point contient les tangentes de toutes les autres courbes.

Le raisonnement qui précède cesse d'être juste quand, au moment où son plan passe par le point M, la courbe génératrice a épi'ouve dans sa forme un changement tel qu'on puisse la considérer comme ayant alors, en ce point, une infinité de tangentes (art. 90). C'est un cas que nous aurons l'occasion d'étudiei'.

Une droite tangente à une surface est une sécante dont deux points de section sont réunis en un seul. Toute droite tangente à une courbe tracée sur une surface est tangente à la surface. ,

La normale A une surface en un point est la perpendiculaire au plan langent en ce point.

109. 11 résulte du théorème que nous venons d'établir qu'une surface courbe peut être considérée comme composée de facettes, c'est-à-dire comme un polyèdre ayant un nombre infini de faces infiniment petites, et, par suite, (jue les surfaces courbes ont toutes les propriétés des polyèdres qui ne dépendent ni du nombre ni de la grandeur des faces.

Les théorèmes de similitude s'étendent donc immédiatement des polyèdres aux surfaces courbes.