CHAPITRE II

DÉFINITION ET REPRÉSENT.VTION DES CYLINDRES ET DES CONES.

Dcjiiiitioli, rcprcscnUit'wn cl piincipalcs pvopviétvs du cylindre.

1 10. Un cylindir csl une surface engendrée par une droite qui se meut en restant toujours parallèle à une même droite.

Pour définir un cylindre, on donne une droite à ia(juelle la génératrice rectiligne doit rester parallèle, et une directrice qu'elle doit rencontrer. Une infinité de courbes différentes peuvent être considérées connme directrices d'un même cylindre, mais dans les premières études nous prendrons toujours une ligne tracée sur le plan horizontal.

111. Connaissant la. projection horizontale iV un point d'un cylindre, déterminer sa projection verticale.

Soient A la trace du cylindre {fig. 79), (D, D) une droite à laquelle les génératrices doivent être parallèles et m la projection donnée.

La génératrice de la surface qui passe par le point cherché a pour projection horizontale la droite mn parallèle à D, et perce le plan horizontal au point n de la trace A. La projection verticale de la génératrice est la parallèle à D' menée par le point n' ; il ne reste plus qu'à relever m en m' par une perpendiculaire à la ligne de terre.

La droite mn rencontre la droite A en un second point /•, trace d'une autre génératrice dont un point se projette en m. On trouve ainsi une seconde solution m" .

112. Si la ligne menée par le point m parallèlement à D ne rencontrait pas la trace A, il n'y aurait pas de solution. D'après cela les deux droites P et Q tangentes à A et parallèles à D sont, sur le plan horizontal, la limite de la projection des points du cylindre, ou son contour apparent. Si l'on suppose que la surface limite un corps en relief, ces droites devront être tracées en trait plein.

Le point {m, m') est plus élevé que le point {m, m"), et, par conséquent, il le cache sur la projection horizontale. Les génératrices qui ont leur trace sur l'arc /j/c^ sont ainsi vues, tandis que les autres sont cachées.

Il peut arriver que la trace du cylindre considéré ait plus de deux tangentes parallèles à D, qu'elle n'en ait qu'une, ou même pas du tout. On discutera chaque cas comme celui que nous venons d'examiner.

113. Si l'on s(' donnait la projection vorticalo m' {fig. 79> d'un point du

CmriTRK II. - DEFINITION ET HEPRESENT \TION DES CVI.TMIRES ET OKS C.OW.S. ;>-

cylimlro. p;ii' îles riiisonnemenls analogues cl la inèiiie eoiistructioii faite en ordre inverse, on déterminerait deux pinjections luiri/dnlales eori'espondantes //; et /«, .

La projection verticale de la surface est limitée aux droites K' et 1 parallèles à D', et menées par les points /■' et /' où les tangentes de A perpendiculaires ,'i la ligne de terre rencontrent cette ligne.

Les génératrices qui ont leurs traces sur l'arc ^/j/ sont seules vues sur la projection verticale.

11-i. Lu cylindre est géométriquement détini par sa trace A et par une droite de parallélisme (D, D'); mais, pour qu'il soit représenté, il faut ajouter les lignes de contour apparent; elles donnent d'ailleurs la direction des génératrices, et rendent inutile une droite de parallélisme.

Le corps, s'il existe réellement, est limité, et pour le représenter il sera nécessaire d'avoir la projection de ses hases; mais nous ne nous occupons pas encore de ces questions.

llo. Le plan tangent à un cylindre en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point.

Soient A et a {Jig. 7H) tleux points (|nelconques d'une génératrice G; M et m deux courbes tracées par ces points, et G' une autre génératrice de la surface.

Les droites G et G', étant parallèles, déterminent un plan qui contient les sécantes U et ;/ des courbes M et m. Si l'on suppose que la génératrice G' se meuve sur la surface, en se rapprochant de G, les points B et h s'avanceront respectivement vers A et a, et se confondront avec eux quand G' sera réuni à G. Les lignes U et u seront alors tangentes à M et à m, et leur plan, contenant la génératrice rectiligne qui est sa propre tangente en A comme en «, sera tangent en ces deux points. Il le serait de même en tout autre point de la droite G.

La proposition que nous venons d'établir ne cesse pas d'être vraie quand la directrice I\I est une courbe graphique, pourvu qu'elle n'ait en A qu'une seule tangente. Dans le cas contraire, il faut considérer la surface comme composée de deux cylindres qui se coupent suivant la génératrice ka, et dont chacun a son plan tangent.

116. La tangente à la trace m (fig- So) d'un cylindre sur un plan P, en un point a, est l'intersection, ai ec le plan Y*, duplan tangent le long de la génératrice Xa.

L'ensemble des droites qui projettent sur un plan P les différents points d'une courbe M forme un cylindre dont la trace m, sur le plan, est la projection de M.

Le plan projetant d'une tangente T est tangent au cylindre pi'ojetant de M, tout le long de la projetante du point de contact A, et par suite sa trace t, projection de T, est tangente h m. Il résulte de là que la projection de la tangente à une courbe est tangente à la projection de la courbe. Nous n'avons pas supposé que les génératrices du cylindre fussent perpendiculaires au plan de projection;