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58 I.IMII-: H (1 I.IMHli -;, r.ONKS KT SURTACKS 1)1- KÉM )l.l TION.

la |irop(isiti()ii sera doiir l'iii'orr vraie, si les pi'ojctantcs toujours paralli'Ics entre elles sont iiieiinées sur ce plau. Nous devrons ([uel(|uel'ois eMi|ilov('i' l'e genre de projeetiou.

Quand la tangente à une courbe est |)erpcndiculaire au plan de projection, elle y est représentée par un point. Si la courbe est plane, sa projection est alors une droite, et il n'y a pas à rechercher sa tangente.

La projection d'une normale à une courbe n'est pas, en général, normale à la projection de la courbe ( art. 46).

11(> a. Pour obtenir les points où une droite perce un cylindre, on fait passer par la droite un plan parallèle aux génératrices du cylindre : ce plan coupe le cylindre suivant des génératrices qui rencontrent la droite aux points cherchés.

117. Le cylindre est développable, c'est-à-dire qu'on peut le dérouler sur un plan, sans contraction ni distension d'aucune de ses parties, mais par de simples flexions. Si la directrice est une courbe fermée, il faut supposer que le cylindre a été coupé au préalable le long d'une génératrice.

Pour démontrer cette propriété, considérons une surface de prisme, sans base {Jtg. <Si ); on peut concevoir que la face P tourne autour de l'arête B pour se placer dans le plan Q, et que ces deux faces réunies se mettent dans le plan R par une rotation autour de C. En continuant ce mouvement autour des dilférentes arêtes, on développera la surface.

Cette propriété, n'étant dépendante ni du nombre ni de la grandeur des faces, est encore vraie quand le polygone i\ devient une courbe (art. 109); la surface est alors un cylindre.

118. Dans le développement du prisme, les côtés ab, bc, . . . d'un polygone quelconque G (fig. 81) tournent autour des droites A, H, . . . et par suite les angles que chacun d'eux forme avec les arêtes qui passent à ses extrémités ne sont pas altérés. Cette propriété s'étend naturellement au cylindre; les angles que la directrice ou toute autre courbe forme avec les génératrices ne sont pas modifiés lorsque l'on déroule la surface.

Les angles que deux courbes tracées sur un cylindre forment avec la génératrice de leur point de rencontre n'étant pas altérés dans le développement, l'angle qu'elles comprennent est égal à celui de leurs transformées.

Les génératrices restent parallèles entre elles comme les arêtes du prisme.

La section droite, c'est-à-dire l'intersection du cylindre par un plan |ter|ieMdiculaire aux génératrices, devient une ligne droite.

Déjliiilioii, rcprr.scntdtio/i cl prlnci/uilcs proprictés du roue.

1 19. Un cône est une surface engendrée par une droite (pu se meut en nissaril par un point fixe que l'an nomme sommet.

CHAPITRE II. - DÉFINITION ET REPRÉSENTATION DES CYLINDRES ET DES CONES. jg

Un cône est détini par la position du sommet (.v, s' ){ fig. 82 ), et par une difectrice A que nous prendrons généralement sur le plan horizontal.

Quand la génératrice est une droite indéfinie, ses deux parties en dec;à et an delà du sommet décrivent des nappes distinctes qui se réunissent à ce point.

120. Si l'on cherche la projection verticale d'un point situé sur le cône, et dont la projection horizontale m (Jîg. 82) est connue, en opérant comme il est expliqué à l'article 111 pour le cylindre, on trouvera sur le plan vertical deux points wz' et m", et l'on reconnaîtra que, sur le plan horizontal, toutes les projections des points de la surface sont comprises entre les droites P et Q menées du point ,v tangentiellement à la trace A. Ces lignes forment le contour apparent du cône sur le plan horizontal.

Lorsque du point *■ on ne pourra pas mener une tangente à la trace A, il n'y aura pas de contour apparent sur le plan horizontal, et tout point de ce plan sera la projection d'un point ou de plusieurs points de la surface.

A un point m', pi'ojection verticale d'un point du cône, correspondent >ur le plan horizontal deux points m et m,. Le contour apparent de la surface sur le plan vertical est donné par les droites K' et I' menées du point s' aux points k' et i'où les tangentes de A perpendiculaires à la ligne de terre rencontrent cette ligne.

En raisonnant comme à l'article 112, on reconnaît quelles sont les génératrices vues sur l'un ou sur l'autre des plans de projection.

121. Un plan tangent à un cône en un point est tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point.

On démontre ce théorème, comme celui qui lui correspond pour le cylindre (art. 115 ), en considérant deux génératrices G et G' {fig- 83), et faisant mouvoir la seconde sur la surface, jusqu'à ce qu'elle se confonde avec la première; alors les sécantes u et U de deux courbes m et 31 deviennent en même temps tangentes, et déterminent un même plan tangent aux points a et A.

121 a. Pour obtenir les points où une droite perce un cône, on fait passer un plan par la droite et par le sommet du cône : ce plan coupe le cône suivant des génératrices qui rencontrent la droite aux points cherchés.

122. On reconnaît que le cône est développable en considérant cette surface comme une pyramide ayant un nombre infini de faces. Les angles que les lignes tracées sur un cône font avec les génératrices, et entre elles, ne sont pas altérés par le développement.

Si l'on coupe un cône par une sphère ayant son centre au sommet, les longueurs interceptées sur les génératrices seront égales, et formeront en développement les rayons d'un arc de cercle qui sera la transformée de la courbe d'intersection.

125. On voit qu'il y a une grande analogie entre les propriétés du cône et celles du cylindre; c'est que le cylindre est un cône dont le sommet est trans-

6o LIVRK II. - CM.l.MiliKS, CONES ET SURFACES DE HÉVULLTION.

portf' il l'iiitini, il ijuc, par siiilc, il possède toutes les propriétés du cône qui ne dépeudciil pas de la dislaiiee à la(|uclle se trouve le sommet.

C'ditc (le i('v()liiti()/i.

Ili4. Le coue de révolution mérite une mention spéciale. Il est engendré par une di'oile G {fig. 84), qui tourne autour d'un axe B qu'elle rencontre en S, en faisant toujours un même angle avec lui.

Un point quelconque M de la génératrice décrit un cercle A dont le centre 0 est sur l'axe, et dont le plan P est perpendiculaire à l'axe.

Toutes les génératrices du cône font des angles égaux avec le plan P, car ce sont des obliques qui s'éloignent également du pied de la perpendiculaire. Aucune autre ligne passant par le sommet S ne peut faire le même angle avec le plan P.

12o. La trace FE {Jig. 84) du plan Q tangent au cône le long de la génératrice SM est tangente au cercle A du cône, et par conséquent perpendiculaire au rayon OM et à la génératrice SM. Ces lignes comprennent ainsi un angle égal à celui des plans P et Q.

Il suit de lii que tous les plans tangents à un cône de révolution font, avec un plan perpendiculaire à l'axe, des angles égaux à ceux que forment les génératrices, et par conséquent égaux entre eux.

Tout plan passant par le sommet S, et faisant avec le plan P le même angle que les génératrices, est tangent au cône.

126. On emploie le cône de révolution par la solution de divers problèmes. Nous en donnerons immédiatement un exemple.

Dél.ermmer les génératrices d'un cône qui font un a/iif/c donné avec le plan horizontal.

Soient (5, s') le sommet et .A. la trace borizontale du cône donné (fig. 85). Nous traçons la droite s'e' faisant l'angle donné avec la ligne de terre, et la droite se parallèle à cette ligne. Les génératrices cherchées appartiennent à un cône de révolution dont l'axe est la verticale du point s, et dont la droite {se, s'e') est une génératrice. La trace de ce cône est le cercle décrit du point s comme centre, avec se pour rayon. Ses rencontres p et q avec A font connaître les droites (^sp, s'p'), (sq, s'fj')qu'\ satisfont à la question.

On remarquera la manière dont ces lignes sont ponctuées, suivant leur position sur les nappes du cône.

Si l'arc décrit du point s comme centre, avec se pour rayon, ne rencontrait pas la (race du cône, le problème n'aurait pas de solution.

120 a. Me/ier par un point {a, «') (//g. /, Pi. L V) une droite faisant respectivement avec le plan horizontcd et avec le plan rertical de projection des angles donnés a et j3,

La droite cherchée appartient à deux cônes de révolution qui ont leur sommet

CIIAPlïRt; II. — KÉFI.MTION ET UEPHÉSENTATIU.N DE.S CM.LNDIŒS ET DES CONES. 6l

au puint (a, a') et qui peuvent 6tre détenuines par la construction in(li(|uée à l'article 126. Les axes de ces concs sont respectivement perpendiculaires aux plans de projection. La droite (ab, à b'), parallèle au plan vertical et faisant avec le plan horizontal l'angle y., est une génératrice du premier. L'horizontale {ac, a'c), qui rencontre le jdan vertical sous l'angle [i, appartient au second. Nous ne considérerons d'ahord sur chaque cône qu'une nappe.

Si nous coupons les deux cônes par une sphère ayant son centre à leur sommet commun, nous aurons deux cercles dont les points de rencontre détermineront des génératrices communes, c'est:à-dire des droites satisfaisant au prohlème.

Nous prenons la sphère qui a pour rayon àb' : son intersection avec le premier cône est le cercle décrit sur le plan horizontal du p*jnt a comme centre, avec ab pour rayon.

Le cercle suivant lequel la sphère coupe le second cône est dans un plan de front. On en ohtient un point (c, c') en portant sur la génératrice (ac, de') une longueur égale au rayon a'b' de la sphère. La projection horizontale du cercle est la droite cnm, parallèle à la ligne de terre; sa projection verticale, le cercle décrit du point a' comme centre, avec a' c' pour rayon.

Les projections horizontales des cercles se coupent en m et en //, leurs projections verticales en m' et en «'. ("-es points se correspondent de manière à déterminer deux rencontres, car les courbes sont sur une même sphère. Nous trouvons donc deux génératrices communes {am, a'm) et {an, a'/t').

Si nous considérons les cônes dans toute leur étendue, la sphère coupera chacun d'eux suivant deux cercles situés à des distances égales du sommet. Ces cercles donnent, en général, huit points d'intersection qui appartiennent à quatre génératrices communes. Nous obtenons ainsi, outre les premières droites, les deux droites (pam, n'a' m" ) et (qan, m'a' n"), qui, comme elles, ^^atisfont aux conditions du problème.

La construction donne des solutions toutes les fois que le cercle bmn coupe la droite cnin, et par suite quand on a

ae <^ ba, ou bien

ae <^ b'a, .

Les triangles rectangles aec et b'a,a' ont leurs hypoténuses égales; l'inégalité précédente conduit donc, pour les angles opposés aux côtés ae et è'a,, à la relation

ace <^ b'a'a,, c'est-à-dire ii

d'où

62 l.niiK 11. CM^lMiRES, CONKS KT SUHl'WCKS UL KK\OLLTION.

Il est, en l'U'et. lacilc fie recomiaitre (|ue, lor'sijiruno droite est dans un pian perpendiculaire à la ligne de terre, les angles aigus qu'elle fait avec les plans de projection sont complémentaires, et que, pour toute autre position, la somme de ces angles est inférieure ii qo".