CHAPITRE m

PL\NS TANGENTS AL CVLINDlîK KT \l CONE.

Constidctioii (IcM plans fn/ti^c/its.

127. Mener un plan tangent à un cyUndre en un point donné de la surface ( ' ).

Soit (///, m' ) le point (Jig- '"^7. A"/- XVIIl). Tne seule de ses deux projections peut être prise arliitrairement, l'aulrc sera déterminée comme il est dit aux articles 111 et 115.

Le plan tangent au |»oinl \in, m') e^^l tangent tout le long de la génératrice {mh, m' h' ), et sa tra<'e horizontale est la droite T tangente ii la trace A du cvlindrc au point h.

Sa trace verticale T' passe par la trace c' de la génératrice de contact, et par le point où ï rencontre la ligne de terre. Ce point étant éloigné, nous y suppléons en menant par un point (n, n ) de la génératrice une droite {ng, n g') parallèle à la trace (T, XY). Cette ligne se trouvera dans le plan tangent, et sa trace verticale g' sera un point de T'.

1*28. Mener à un cyli/nlre un plan tangent par un point extérieur.

Soit (m, né) le point donné (//g. 88). Le plan cherché devant contenir une génératrice, la droite (nib, m' h') menée parle point {m, m') parallèlement aux génératrices y sera tout entière. La trace horizontale du plan passe donc par la trace bde cette droite; elle doit d'ailleurs être tangente à la trace A du cylindre, et il y a autant de solutions que l'on peut mener de droites satisfaisant à ces deux conditions : nous en trouvons deux, T et T,.

Les traces lnirizontales des génératrices de contact sont les points de langence r et /•, .

Les traces verticales des plans passent par la trace verticale de la droite; (nib, né b'); sur notre épure ce point est éloigné; nous ne pouvons pas non plus

('; I.CS iii-oblcnic'S traités aux articles 127, 128 cl 1:2!! olaiit (mi ciix-môincs 1res aisés, nous avons disposé les données de manière à introduire do petites difficullés i,'ra|ilii(|ues, avec lesquelles il est nécessaire (lue les élèves soient familiarisés.

ciiM'iTiîi-: ni. - n.ws tanc.knts \i (M.imikk et ai' c<im:. ()>

utiliser les traces des généralrices de coiilart; alors nous avons mené [)ai' le point (w, m') des parallèles aux traces horizontales des plans (anijenls. (les droites (^mc, m'e'), (rne,, m'e\) sont dans les plans cherchés, et leurs traces e' et e\ achèvent de déterminer les traces T' et T, des plans.

Les droites auxiliaires parallèles aux traces T et T, peuvent évidemment être menées par tout point de la droite (/ne, m'b').

129. Mener à un cylindre un plan tangent parallèle à une droite.

Soit (D, D') la droite donnée {fig. 89). Par un point (m, m') de cette droite, nous menons une droite {mg, //z'^') parallèle aux génératrices du cylindre, et nous déterminons la trace horizontale eg du plan de ces deux droites.

Le plan cherché doit être parallèle à chacune d'elles; sa trace est donc parallèle à eg, et il v aura autant de solutions que la trace A du cylindre admettra de tangentes parallèles à cette droite; nous en trouvons deux, T et T,.

Pour avoir les traces verticales, par des points h et è,, pris sur les traces T et T,, nous menons des parallèles aux génératrices du cylindre. Ces droites sont respectivement dans les plans tangents, et leurs traces verticales c' et c\ sont sur les traces verticales T' etT', de ces plans. T' passe par c et par le point k oùT rencontre la ligne de terre; T, passe par c\ et est parallèle à T.

Pour diminuer le nombre des lignes à tracer, nous avons pris les points b et /;, sur une parallèle aux projections horizontales des génératrices.

Les droites T' et T, sont parallèles à la trace verticale du plan qui passe par (D, D') et par {mg, m' g'). Il est quelquefois utile de construire cette ligne.

lôO. Mener un plan tangent à un cône par un point extérieur.

Le cône est donné par son sommet {s, s' ) (Jig. 90) et par sa trace A. Nous le supposons limité à son sommet et au plan horizontal. Nous avons indiqué le contour apparent sur le plan vertical : il n'y en a pas sur le plan horizontal. Le point donné est {m, m' ).

Le plan cherché, devant contenir une génératrice du cône, passera par son sommet, et par suite la droite (sni. s'nï ) y sera tout entière. La trace horizontale du plan passe donc par la trace horizontale 1/ de cette droite; elle doit d'ailleurs être tangente à la trace A du cône; il y a autant de solutions que l'on peut mener de droites satisfaisant à ces conditions. Nous en trouvons deux. T et T,. Les génératrices de contact sont {sr, s'r') et (sr,. s'r\ ).

La trace verticale de chacun des deux plans passe pai' la trace verticale r' de la droite (sm, s'm' ).

lilO a. Lorsque le point ni, m est donné sur la surface du cône, le point b est sur la trace A, et la construction donne un seul |)lan tangent, dont la trace horizontale est la tangente en b à la courbe A.

13i . Mener à un cône un plan tangent parallèle à une droite donnée.

Le plan cherché contient la droite (sb, s'b') menée par le sommet (s, .v')

(]'^ !.l\ r,l-: II. — CYLINDRES, CONES ET SI nFACES DE RÉVOLUTION.

paralli'Iciiii'iil ;i la dniilc donnée ( D, D' ) (/iif. <}o). La question se trouve ainsi laineiiée au prolyli'uie que nous venons de traiter.

I.V2. Les prol)lèmes que nous avons résolus dans les articles précédents peuvent être considérés comme des questions d'omhre ( ' ) pour des cylindres d'une longueur indéfinie.

Si un cylindre est éclairé par des rayons qui divergent d'un point (m, m') {fig- 88), les lignes d'ombre seront les génératrices de contact des plans tangents (T, T'), (T,, T, ); car les rayons dirigés de {m, m') aux différents points de ces génératrices seront tangents comme contenus dans des plans tangents.

Les traces des plans tangents au delà des points de contact sont les limites des ombres portées sur les plans de projection; ainsi l'ombre sur le plan horizontal est itrii\ II,.

Si \i\/ig: 88 avait été établie en vue d'un proldème d'ombre, les parties hr et hr, des traces auraient dû être pointillées.

Là fig. 89 montre, pour un cylindre éclairé par des rayons parallèles à une direction (D, D), les génératrices limites de l'ombre propre, et les traces des plans tangents qui limitent l'ombre portée sur les plans de projection. Considérées comme lignes d'ombre sur le plan hoi'izontal, les droites T et T, ne devraient pas être prolongées à droite des points /• et /,.

La/ïg. 90 présente également les constructions nécessaires pour déterminer les ombres d'un cône.

153. Mener à un cylindre un plan tangent (/ni fasse «cfc le plan horizontal un angle donné.

Prenons un point {s, s') (fig. 86), et considérons-le comme le sommet d'un cône de révolution dont les génératrices rencontrent le plan horizontal sous l'angle donné. Nous pouvons tracer l'une des deux génératrices parallèles au plan vertical, puis le cercle trace horizontale du cône (art. 126).

Le plan cherché fait avec le plan horizontal le même angle que les plans tangents au cône; d'ailleurs il contient une génératrice du cylindre; il est donc parallèle au plan mené tangentiellement au cône par la droite (sb, s'b') parallèle aux génératrices du cylindre : sa trace est ainsi parallèle à / ou à u; c'est T, T,, U ou Ll,.

Nous trouvons ainsi quatre solutions, mais il n'y en aurait que deux si, par la nature du problème, le dièdre égal à l'angle donné devait être du côté du cylindre; les traces T, et U, seraient alors à rejeter, parce que les plans qu'elles déterminent, bien que parallèles aux deux autres, devraient être considérés comme formant avec le plan hori/.ontal des angles supplémentaires de l'angle donné.

(•) Les généralités relatives aux ombres linéaires soiil exposées clans lo Livre cinquiàiH- 1 lieuxiènie Partie).