CHAPITRE III. — rL\NS TANGENTS VI CYLINDRE ET AL CONE. Bt
mais la dernière se trouvant ahaisséc au-dessous du plan liorizontai quand le plan (SE, ER) est relevé, c'est son prolongement S// (]ui forme la troisième arête. Nous trouvons ainsi que l'anjile plan de la seconde face est égal à èSE ou à è'SE.
Si, les angles ^ et C conservant les grandeurs qu'ils ont sur \i\ //"-. Gi his, l'angle B était remplacé par son supplément, les deux tangentes devraient être rejetées, et l'angle trièdre serait impossible.
158. Supposons que l'on rabatte la troisième face en la faisant tourner autour de Sfl : le point de contact I (fig- Gi) se placera sur l'arc de cercle décrit du point S comme centre, avec SI pour rayon. Comme d'ailleurs nous savons que sa distance au sommet N du cône est la longueur NR d'une génératrice, nous pouvons déterminer sa position I, par recoupement.
Dans l'espace, la troisième arête est tangente à la base du cône, et par suite perpendiculaire à la génératrice du point de contact I. D'après cela le rabattement sb^ doit être tangent en 1, au cercle dont le centre est en N, et dont le rayon égale NB.
Si Le cercle décrit du pointy^ comme centre passait par le point S, les points I, J et I| se réuniraient à S, et l'angle NS/^, serait droit.
Sur la^g'. Gi bis, en menant du point S des tangentes an cercle dont le rayon est NR, nous trouvons que la troisième face estaSô, dans la première solution, et aSb\ dans la seconde. Ces angles sont supplémentaires.
139. Lajig. 6i, faite en ordre inverse, donne une solution du problème de l'angle trièdre dans le troisième cas, déjà examiné à l'article 77.
Les données sont les angles cSa, aS6, et NER. Les diverses droites qui les forment sur la figure étant placées, on abaisse les perpendiculaires NI, elNP. Un cône de révolution dont Taxe serait NP, et dont la droite NR égale à NI, serait une génératrice, toucherait la face «Se, relevée, et la troisième arête du trièdre serait tangente au cercle de sa base situé dans le plan (SE, ER). Si donc nous rabattons ce plan par une rotation autour de SE, nous pourrons tracer le cercle de centre /j, de rayon /?r égal à PR, que la troisième arête devra toucher.
Les tangentes SI et SJ doivent être admises toutes les deux, parce qu'elles se trouvent, après le relèvement, sur la partie du plan (jui forme avec le plan horizontal l'angle donné C. Nous trouvons ainsi deux grandeurs ESI. ES.T pour le troisième angle plan.
Il y a deux cas d'impossibilité : celui où les tangentes sont toutes les deux sur la partiejnférieure du plan de la trpisième face, et celui où le cercle décrit du point N comme centre avec NI, pour rayon ne rencontre pas la droite ER.
140. Mener un plan tangent à deux cônes de révolution dont les sommets coïncident, et dont les axes sont dans le plan horizontal de projection.
Connaissant les angles au sommet et les axes EP, EQ des deux cônes (Jig- ^9«.
68 r,i\i!i: II. - CM. INDUIS, com;.'; i;t surf.\ci;s de p.kvolltion.
PI. XIII), nous pouvons (racor l'une des deux génératrices que ciiacun d'oiix popsi'de sur le plan iiorizontal. Nous obtenons ainsi la droite E./' généralriee du picinicr cône et la droite Ey génératrice du second.
D'un point P de l'axe du premier cône, nous abaissons une perpendiculaire Vx sur Ea" : une splii'ii'. ayant son centre en P et P.r pour rayon, sera toucliée par toutes les génératrices du premier cône et par tous ses plans tangents. De même une splière, ayant son centre en Q et pour rayon la perpendiculaire Qy à Ev, sera touchée par tous les plans tangents du second cône. Le probli'me revient en conséquence il mener du point E un plan tangent à deux sphèi'cs ayant leurs centres en P et en Q, et respeclivemenl pour rayons Pj:- et Qr.
Nous supposons maintenant que le point Q a été déterminé sur EQ par la conilition (|ue Qvait la même longueur (|ue P.r : les deux sphères sont égales, et la trace du plan tangent est la droite El parallèle à la ligne des centres PQ.
Nous prenons un plan vertical de projection perpendiculaire à l'un des axes EP : le cône correspondant a pour trace verticale un cercle dont nous n'avons tracé qu'un quart; la tangente h' est la trace du plan tangent.
La seconde tangente menée du point I à la trace du cône donne une seconde solution. Chacun des deux plans tangents ainsi obtenus laisse les sphères d'un même côté. Si les sphères devaient être placées de côtés différents du plan tangent, la trace de ce plan, au lieu d'être parallèle à la ligne des centres QP. passerait par le milieu de cette droite (').
liO a. Mener par un point (a, a') {Jig.j, PI. LV), un plan faisant a^'ec le plan horizontal et avec le plan vertical de projection des angles donnés a et ^.
D'après la méthode indiquée à l'article 15.">, il faut considérer deux cônes de révolution ayant leur sommet au point (r/, a') et coupant respectivement le plan horizontal et le plan veilical sous les angles a et [B, puis leur mener un plan langent commun.
Le plan passant par («, a') et perpendiculaire ;i la ligne de terre contient les axes des deux cônes. Nous le rabattons sur le plan horizontal en le faisant tourner autour de sa trace I«E. Le point [a, a') se place en A; les axes sont \a et Aa, . On établit sans dif'ticulté sur ce rabattement les droites kb et Ar,, dont chacune est la génératrice d'un cône.
La méthode des sphères inscrites ( ait. 1 10) donne un moyen facile de construire les plans tangents aux deux cônes.
Nous prenons un point o sur \a, eî nous déterminons sur \a\ un point o^ tel que les droites or et (»,/•,, res[)eclivement perpendiculaires ii \lt ei ii Ar,. soient égales. Les points o et o, sont les centres de deux splii'res de ravons
('; La soliilioii (lu |irnlil(''TiiP lie Inrliclo \W. pni' l;i ('oïL-ildérnlion dp driix spliPi'PS ('-gales, est due ù IlaclieUe. Olivici- ,i dniinr uiir iiiilic s(ilnli(Jii de cr |ii-(ilil('iiicî.
r.iivriTRE m. ~ plans twgkxts m cvlimire et au conf. Gç)
égaux, (iont ciiaciinccst inscriti' dans un cône. Un plan tangent aux cùncs touclio ces sphères, et a pour trace une droite EF, parallèle à la ligne des centres oo, et passant par le sommet A. Lorsque nous relevons le plan des axes, le point F, se place en F. Les traces du plan demandé, sur les plans de projection, passent par les points E et F et sont respectivement tangentes aux traces des cônes. On trouve les deux plans (HE, HF) et (KE, KF).
En considérant la seconde nappe du cône dont l'axe est Art',, on voit que le centre de la sphère qui lui est inscrite aurait pu être placé en Oo, à une distance de A égale à Ao,. La ligne des centres eût alors été oon. Cette construction fait trouver deux plans (PGU, PS) et (OGY, QT), qui, comme les premiers, satisfont aux conditions du problème.
On peut obtenir ces nouvelles solutions par la considération des premières sphères, en remarquant qu'elles admettent des plans tangents alternes ayant une trace commune AG qui coupe la ligne des centres en son point milieu 03. Par les mêmes motifs, la ligne EF, passe au point o^, milieu de oo^. Il résulte de là que les droites AE et AG ont des positions symétriques par rapport à A«, et par suite que les points E et G sont à des distances égales de a. On reconnaît de la même manière que la projection a est également éloignée de F et du point où se rencontrent les traces verticales PS et QT. Ce point est déterminé sur la ligne lE par l'arc de cercle décrit du point I comme centre, avec IG, pour rayon. Il se trouve très rapproché du point G, et par suite les traces PS et PU forment un angle peu différent de 180°.
Les axes des cônes étant à angle droit, l'une de ces surfaces ne peut pas être dans l'intérieur de l'autre. Elles ont quatre plans tangents communs lorsqu'elles ne se rencontrent qu'à leur sommet (a, a). Il faut pour cela que la somme des angles bAa et c, Art', , formés par les génératrices avec les axes, soit inférieure à 90", et, comme ces angles sont complémentaires de a et de ^, on doit avoir
Lorsque la somme a -f- 'i atteint ()o", les cônes se touchent suivant deux gênératrice^^, et il n'v a que deux solutions distinctes; elles se réduisent à une seule quand un des angles est droit et l'autre nul.
Enfin, quand la somme a -1- [5 est inférieure à 90", les cônes se coupent, et il est facile de reconnaitre que la construction ne donne plus de snlnlinn. En effet, pour que les deux premières solutions soient réelles, il finit ^\\\v l'on puisse mener du point E et du point F des droites respectivement tangentes ;iux cercles dont les centres sont a et a'. On a donc
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d'où
Les points E et G étant à des distances égales de a, si le premier est dans l'intérieur du cercle, le second s'y trouvera aussi, et par suite les deux dernières solutions disparaissent en morne temps que les premières.
On doit remarquer que le plan cherché et les deux plans de projection forment un trièdre rectangle. La surface du triangle sphérique qui lui correspond est mesurée par l'excès
(a -1- p + 90°) — t8o" ou
a -i- ji) — 90" :
lorsque la somme a -1- [î est inférieure à 90", le ti'iangie sphérique et le trièdre sont imaginaires.
I il. Déterminer les faces a. [5 et y d' ait aiii^le trièdre dont on connaît les angles dièdres A, B, ("..
Nous désignerons simultanément pa!' a, [i et y les laces de l'angle trièdre et les plans qui les contiennent. Nous aurons ainsi l'angle a et le plan a.
Sur le plan de la figure, que nous supposons horizontal, nous traçons deux droites EN et Mm' cou)prenant un angle égal à C {Jig. Ga, Pi. XIV), et nous les considérons comme les traces de deux plans verticaux, qui seront ceux des faces P et a, respectivement opposées aux dii'dres H cl A. Nous pouvons de plus supposer que le sommet de l'angle trièdi(^ se trouver au poini 1'^.
Le phin y opposé à l'angle G passe par le sommet \\, et lait avec les plans verticaux EN et E//?' des angles connus A et R. Nous pouvons, par conséquent, déterminer deux cônes de révolution qui doivent éli'e touchés par ce plan ; ils ont l'un et l'autre leur sommet en E.
Le premier cône a pour axe la droite V.c perpendiculaire ii L.\ et par suite au
