CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS AL CYLINDRE ET AL CONE

plan ^. La ligne E«, qui fait avec le prolongement de EN un angle égal à A, est une des deux génératrices contenues dans le plan horizontal. De même, si nous traçons les droites EL et Ec, faisant respectivement avec EM' un angle droit et un angle égal à B, nous aurons l'axe et une génératrice du second cône.

En opérant comme il est dit à l'article 140, nous déterminons la trace horizontale El du plan y tangent aux deux cônes, et sa trace h' sur le plan vertical IK perpendiculaire à EP et par suite parallèle à ^.

Les droites Vcet V^'sont parallèles aux intersections du plan '^ avec les plans a et y, et par suite l'angle c\i est égal à |3. Le prohlème peut maintenant être considéré comme résolu.

141 a. Les constructions faites permettent d'obtenir très facilement les angles a et y. Nous rabattons le plan vertical ^ autour de sa trace EN, et nous supposons que l'angle trièdre a été transporté parallèlement à lui-même, de manière que son sommet se trouve en un point S sur la verticale du point E; en traçant SN parallèle à M, nous avons dans ESN la face Ji.

Quand le sommet de l'angle trièdre est élevé en S, la trace El du plan y se transporte parallèlement à elle-même, et vient passer par le point N. Les deux traces de ce plan dans sa position définitive sont w'N et NS; les deux traces du plan a sont /?i'E et ES.

Le point m, intersection des traces horizontales des plans a et [i, appartient à la troisième arête; il est facile de voir que, quand on rabat ces plans sur le plan vertical, le point w' est porté en M d'un côté, et en M, de l'autre. Les angles cherchés a et y sont ainsi MSE et NS.M,.

Nous aurions pu placer le sommet de l'angle trièdre en Y, mais nous avons cru (ju'en lui donnant une a-utre position S, les diverses constructions seraient plus faciles à saisir et à distinguer. Si l'on suppose que les points V et S soient d'un même côté ,du plan horizontal, les rabattements autour des lignes de terre EN et IK sont faits en sens contraire, et, dans l'espace, la droite SN est parallèle, non pas à lY, mais à la seconde tangente menée du point I à la trace du cône. Les deux tangentes déterminent deux angles trièdres symétriques.

Nous avons pris le point P du côté de EN où nous avions placé l'angle C, et le point Q du côté de Em' où est le même angle, de manière que le plan de la face y laissât d'un même côté les deux sphères touchées. Si, conservant le point P, nous avions placé le point Q sur le prolongement de LE au delà de E, le plan eût passé par le milieu de la ligne des centres (art. 140).

141 h. Pour qu'il y ait une solution, il faut que la longueur Kl soit plus grande que le rayon Km. On reconnaîtra que cela arrive toutes les fois que la somme des trois angles donnés surpasse i8o degrés. Nous ne nous arrêterons pas à cette question de Géométrie plane.

Si l'un des angles dièdres est droit, en le mettant dans la position C, on pourra

■ya LIVRE II. - CVI.IMJKES, CONES ET SURFACES ME RÉVOLUTION

conserver le tracé, mais il vaut mieux lui donner la position 15; le second cène se réduit à son axe EQ, et le pioijlèiiie consiste à menei' par cette droite un plan tangent au premier cùne.