CHAPITRE IV. — SECTIONS PL.VNES DU CYLINDRE ET DU CONE

Pour déterminer le point i' situé sur l'une des droites qui forment le contour apparent du cylindre sur le plan vertical, il faut opérer sur le point i de la trace horizontale, où la tangente est perpendiculaire à la ligne de terre.

Nous avons ponctué la figure dans la supposition que le cylindre était limité au plan de section.

149. La tangente en un point/' est la projection verticale de la droite du plan (^P, P") qui se projette horizontalement sur la droite tfr, tangente en /à la base du cylindre. On l'obtient par la construction expliquée à l'article 29. On peut d'ailleurs déterminer un quelconque de ses points t', en opérant comme pour les points de la courbe.

Si l'on cherchait les tangentes aux points i' et/, on trouverait les génératrices qui forment le contour apparent, et il doit en être ainsi; car, en ces points, le plan tangent, qui contient la génératrice et la tangente à la courbe, est perpendiculaire au plan vertical, et projette ces deux droites sur sa trace.

Les courbes qui sont sur une surface ont ainsi leur projection tangente au contour apparent. Il n'y a d'exception que quand la tangente à la courbe au point où elle rencontre le contour apparent dans l'espace est perpendiculaire au plan de projection, parce qu'alors cette tangente est projetée tout entière sur un point (art. 116).

Cette circonstance se présente sur \nfig. gS; les tangentes aux points (a, a') et(^, g') sont perpendiculaires au plan vertical, et la projection a' g' de la courbe n'est pas tangente aux droites qui forment le contour apparent du cylindre sur le plan vertical. Elle s'y arrête, et estgéométriquement prolongée par des parties de la droite P' que l'on doit considérer comme parasites.

loO. Nous allons maintenant rabattre le plan sécant pour avoir la vraie grandeur de la courbe : nous arriverons facilement au résultat par deux rotations.

Nous faisons tourner le plan sécant d'abord autour de la verticale du point o jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire au plan vertical, puis autour de sa nouvelle trace sur ce plan. Le point I vient en I,, et la trace verticale du plan se trouve être r, o'. Le second mouvement amène le point (o, o') sur la droite o"ï perpendiculaire à \\o'; sa distance à cette ligne devrait être oo„, mais pour dégager complètement la courbe rabattue des autres lignes de la figure, nous repoussons le point jusqu'en 0, à une distance convenable et d'ailleurs arbitraire. La droite du plan qui se projetait sur a^ est devenue parallèle au plan vertical, et arrive se placer sur la droite AOG, parallèle à I', o .

Si nous considérons un point quelconque {e, c), la première rotation amène sa projection verticale en t sur 1,6»', la seconde le place en E, à une distance de AG égale à er^.

La tangente est obtenue par les mêmes procédés.

On voit qu'il n'est pas beaucoup plus difficile de rabattre une figure plane

^6 LIVHE II. — C\L1.\DHES, CUNES ET SLltEACES HE IIÉ\ OLLTION.

([iiand son |)l;iii est ()hli((iie aux plans coordonnés, qno (|naiul il est perpondicuiaircà l'un d'eux. Il est inutile de dire que l'on peut construire la vraie grandeur de la section, en faisant tourner le plan (P, P) autour de l'une de ses traces, de manière à le rabattre sur un plan de projection.

Le développement du cylindre peut être construit immédiatement : on trouve pour transformée de l'intersection la courbe AA, {Jig. 94). car \t&fig. 93 et 93 représentent le même tronc de cylindre dans deux positions différentes, par lappoi't au plan vertical.

i51. La trace du cylindre étant un cercle, la section et sa projection sur un plan (|uelconque sont des ellipses. Les tangentes aux points a' et g {fig- Qj) sont parallèles et horizontales; la droite a' g' est donc un diamètre, et son diamètre conjugué est la corde horizontale f/'rf, qui passe à égales distances des points a' el g .

On aurait encore deux diamètres conjugués en traçant la droite i'f , et cherchant les points situés sur la verticale du point <>' . Eniin, d'une manière plus générale, on peut prendre sur le cercle trace du cylindre deux diamètres à angle droit, et chercher ce qu'ils deviennent sur la projection verticale. Cela résulte de ce que des cordes parallèles dans l'espace sont parallèles en projection, et que leurs milieux se correspondent.

152. Dans les constructions de la Géométrie descriptive, les courbes sont obtenues d'après les conditions du problème, comme projections, intersections ou contours apparents. Quelquefois cependant, (juand on a déterminé la nature d'une courbe, on peut employer pour la tracer des procédés qui résultent de ses propriétés spéciales.

L'ellipse est, après le cercle, la courbe que l'on rencontre le plus souvent dans les applications. Nous supposons que l'on connaît ses principales propriétés, mais nous croyons devoir rappeler quelques constructions qui sont souvent utiles.

Pour tracer une ellipse dont on a les axes AA' et BB' (fig. 99), on porte sur une règle, et à partir d'un point M, deux longueurs My et JM/? égales, l'une au demi petit axe, et l'autre au demi grand axe; puis on place la règle en diverses positions, de manière que les points «yet/? soient toujours le premier sur le grand axe, et le second sur le petit; le point M se trouve nécessairement sur l'ellipse.

Les segments M/> et My peuvent être placés d'un même côté du point M, ou de côtés opposés. La première disposition est généralement plus commode, parce que la construction occupe moins d'étendue sur la feuille, mais elle présente peu de précision quand la différence des axes est petite.

155. il y a plusieurs moyens de trouver les axes d'une ellipse (juand on connaît deux demi-diamètres conjugués O.M et ON {fig. 100). Voici celui (|iic nous croyons le plus simple.