CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES DU CVLINDUE ET 1)L CONE. n

De l'extrémité M de l'un des diamètres, on abaisse une perpendiculaire MI sur l'autre, et l'on prend sur cette droite des longueurs MC et MC, égales à ON; on trace UC et OC,. On mène par le point M une sécante parallèle à OC,; elle coupe OC en un point E à partir duquel on prend les segments Eys et E</ égaux à EO. Les axes sont, en direction les droites Oyo et Oy, en grandeur les doubles des segments ^\q et M/j.

Si l'on trace la sécante parallèlement à la plus [)etitc des longueurs OC et OC, {fig. loo bis), le point M sera entre les points/; et y. On opère d'une manière ou de l'autre, suivant celle des deux dispositions représentées sur la /%•. 99 que l'on veut employer pour décrire l'ellipse.

154. On peut, du reste, tracer facilement une ellipse par points, quand on connaît deux diamètres conjugués a' g' et cl (l\ {fig. 96). Décrivons un cercle sur a g" comme diamètre, élevons la perpendiculaire om, et joignons md\; si l'on construit sur une ordonnée quelconque in du cercle un triangle zne\ semblable à omd\, le point e\ et le point e' situé à une distance égale de £ appartiendi'ont à l'ellipse.

On voit d'après cela que nous pourrons toujours regarder une ellipse comme tracée, quand nous aurons obtenu deux diamètres conjugués.

111'' EXEMPLE. — Cas général- (Planche XXII.^

loo. Nous allons maintenant construire l'intersection d'un cvlindre par un plan dans le cas le plus général. Le cylindre est donné comme à l'ordinaire par sa trace horizontale et la direction de ses génératrices. Les traces du plan sécant sont les droites Q et Q' {fig- 97).

loo a. La perspective cavalière (') de \^jig. a, PL LUI, représente le cylindre dans l'espace, ses projections sur le plan horizontal et sur le plan vertical, les traces Q et Q' du plan sécant, la section du cylindre et ses projections.

Les constructions expliquées aux articles loo et I06 sont tracées sur cette perspective, et nous engageons le lecteur à les suivre en étudiant l'épure {Jig. 97 ). Nous avons mis aux projections les mêmes lettres indicatrices que sur \iijig. 97 ct aux points dans l'espace des lettres majuscules accompagnées de l'indice i.

On voit deux groupes de lignes parallèles, les unes à XI, les autres à /zN; elles représentent des droites perpendiculaires, les premières à la ligne de terre XY, les autres aux projections horizontales des génératrices.

loo b. Nous pourrions déterminer les projections de la courbe en cherchant, d'après les procédés ordinaires (art. 50), l'intersection d'un certain nombre

(') Les explications relatives à la Perspective cavalière sont données à la fin de cette Première Partie (art. 311).

^8 LIVUE il. CYLINDRES, CU.NES ET SUllEACES DE HÉVOLUTION.

de génératrices avec le plan; mais nous devons disposer les constructions en vue du rabattement qu'il sera nécessaire de faire pour obtenir la courbe dans sa vraie grandeur, et des tracés qu'exigera la détermination de la section droite pour le dévelop|)ement du cylindre.

Nous considérons le plan vertical (jui contient une génératrice quelconque, par exemple celle dont les projections sont et et e'E', et nous le rabattons sur le plan horizontal en supposant qu'il entraîne avec lui la génératrice et sa propre intersection avec le plan (Q, Q').

Il est facile d'avoir le rabattement «', de la génératrice, en cherchant le point N où se place un point {n, n') de cette droite.

L'horizontale du plan (Q, Q') située à la même hauteui' que (n, ri) a sa trace verticale en /•', et se projette horizontalement sur la droite rm parallèle à Q; le point où elle rencontre le plan vertical et a sa projection en m, et son rabattement en M à la même distance que N de la droite cz. La section du plan (Q, Q') par le plan vertical que nous considérons est ainsi rabattue sur la droite sM; son point de rencontre e, avec la génératrice eN appartient à la courbe. Si nous relevons le plan, le point c, ira se projeter sur le plan horizontal en E, et sur le plan vertical en E', à une hauteur au-dessus de la ligne de terre, donnée par la perpendiculaire e.E. Le point E' doit d'ailleurs se trouver sur la projection verticale de la génératrice considérée.

Les mêmes constructions devraient être reproduites pour dillércntes génératrices; mais il est à remarquer que ces droites, faisant les mêmes angles avec leurs projections, se trouveront encore parallèles lorsqu'elles auront été ramenées sur le plan horizontal par le rabattement successif de leurs plans projetants. Il en sera de même des intersections de ces plans avec le plan donné (Q. Q')- En conséquence, après avoir pris sur la trace du cylindre un certain nombre de points convenablement espacés rt, h,c, . . ., on tracera les projections des génératrices correspondantes, et l'on obtiendra ainsi sur la trace Q les

points a, [ii, y On mènera ensuite par les points a, b, c, . . . et par les

points a, fi, y. • • • des droites respectivement parallèles à ee^ et à tc^ ; les points de rencontre a,, 6,, r,, ... seront ramenés en A, B, C, ... par des perpendiculaires aux projections des génératrices, et de là en A', 13', C, . . . sur les projections verticales des mêmes droites.

lîiO. La tangente en un point (D, D') est l'intersection du plan sécant avec le plan tangent le long de la génératrice (rfD, r/'D'). Si les traces horizontales Q et dp de ces plans se l'encontraient dans le cadre de l'épure, nous aurions un second point de la tangente; mais cela n'ayant pas lieu, par un point /> de la trace dp, nous concevons une droite parallèle aux génératrices du cylindre, (^etle droite est dans le plan tangent, et |)erce le plan (Q, Q") en un point de la tangente cherchée. Pour trouver ce point nous opérons comme précédemment,