CHAPITRE IV. - SECTIONS PLWKS DU CYLINDRE ET DU CONE. ~q

c'est-à-ilire que nous traçons la ligne/;- projection liorizontale de la droite, puis les droites /Y>| et ~p, respectivement parallèles à ee, et à îp,, et enfin que nous ramenons le point d'intersection/?, de ces deux droites, d'abord en P, puis en P'.

lô»7. Nous obtiendrons la vraie grandeur de la courbe en rabattant son plan sur le plan horizontal. Considérons un point quelconque du plan (Q, Q), par exemple celui qui se projette en m : il va se placer en un point M, sur la perpendiculaire mM, h Q, et à une distance de e égale à la longueur eM qui nous est donnée sur le premier rabattement. Nous avons ainsi la direction sM, de la droite eE,, et nous pouvons placer le point E,, rabattement de (E, E'), à la distance ze,.

Les intersections du plan sécant avec les autres plans projetants des génératrices sont parallèles h eE, ; nous avons les longueurs de ces lignes sur les premiers rabattements, on construira donc la courbe A,B|C| ... sans difficulté.

Pour avoir la tangente au point D,, on transporte le point (P. P") en P, par le même procédé.

158. Pour faire le développement du cylindre, il faut d'abord déterminer sa section droite. Nous traçons une droite a, e, perpendiculaire aux projections horizontales des génératrices, et nous la considérons comme la trace horizontale d'un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre. Si l'on conçoit que des points a,, ^,,7,, ... on abaisse des perpendiculaires sur les différentes génératrices, en supposant ces droites entraînées dans les rabattements successifs des plans projetants, on pourra les tracer sur le plan horizontal, et on aura leurs vraies grandeurs 7.,a.^, ^,b.^, . . . . Si maintenant le plan de section droite tourne autour de sa trace, toutes les perpendiculaires que nous considérons se mouvront dans les plans projetants des génératrices correspondantes, et se placeront sur leurs projections. Mais, comme la courbe prendrait une position qui jetterait un peu de confusion sur l'épure, nous avons d'abord transporté la trace a,E, en y..,z.2' <"! c'est à partir de cette ligne que nous avons porté les longueurs a,ao, %b^. ... ; nous avons ainsi obtenu les points A.,, Bo, ....

Pour avoir la tangente en Do, nous opérons sur la parallèle au cylindre menée dans le plan tangent par le point/;, comme nous venons de le faire sur les génératrices elles-mêmes. La ligne ~,p.,, perpendiculaire à pp,, donne le point/j^ qui appartient au plan de section droite. La longueur-,/;, est portée de -, en P,.

139. Le développement est maintenant facile. Nous portons sur une droite indéfinie B^H, (,/ig- 98) les longueurs rectifiées des différents arcs de la courbe A.jBoCo ... (^/ig. 97), et par les points de division nous élevons des perpendiculaires. Nous portons sur ces droites les segments des génératrices pris sur les rabattements des plans projetants; ainsi les longueurs D.^d et D.jf/, {Jïg: 98") doivent être égales à c/^c/ et à r/.^/i, ifig- 97)-

Nous obtenons les tangentes aux points d et r/,. en plaçant sur le développe-

8o I.IVlii: II. - CVLINDHES, CONES F.T SURI ACIÎS IlE HÉVOLUTION.

ment, et dans sa position relative par rapport à la génératrice r/c/,, la droite (|iic nous avons menée par le point/; parallèlement au cylindre. Sa distance à dd^ est donnée sur la section droite, c'est la ligne P^Do {fig- 97). Les longueurs P^/^ et V.^p (/iff- 98) doivent être égales 'a p.p, et hp^p (fig. 97 ).

Les transformées bh et hji, ont des points d'inflexion. Nous verrons plus loin (art. 169, note) comment on détermine leur position.

On peut reconstruire le cylindre en découpant et en enioulanl l;i feuille sur laquelle le développement est fait. Il faut que la face du pa|)i('r (|ui porte la tigure soit sur la partie concave; autrement, par suite de l'ordre adopté dans le développement pour la succession des génératrices, on aurait un cylindre symé- (riquc de celui qui est représenté sur \ii/ig. 97.

KîO. La trace du cylindre est un cercle; la section et ses deux projections sont, en conséquence, des ellipses. Les droites CG et AE sont des diamètres conjugués de la projection horizontale, car la première passe par le milieu de la seconde et est parallèle aux tangentes de l'ellipse à ses extrémités. D'après cela les lignes C'G', A'E' et C, G,, A, E, seront des diamètres conjugués de l'ellipse en projection verticale et en rabattement. Les lignes C^G^ et A^E^ sont les axes de la section droite.

101. La droite qui va du point (E, E') à son rahattement c^ {Jig. 97) est inclinée à 45° sur le plan horizontal, parce qu'elle est la corde d'un quart de cercle. Toutes les autres droites analogues qui vont des points (A, A'), (B, B'), ... à leurs rabattements a, , b,, . . . ont la même inclinaison et sont parallèles dans l'espace. Elles forment ainsi un cylindre dont la courbe (ABC..., A'B'C'...) est la directrice; les points a,, b,, c, sont par suite sur une ellipse dont les droites rt,e, et^-,c, sont deux diamètres conjugués.

La droite/;, rf, est tangente à cette courbe en r/,, car elle est la trace du plan tangent au cylindre dont nous venons de parler, le long de la génératrice qui aboutit au plan ^/, .

On peut considérer la courbe nr, /j,r, et la droite/;, r/, comme des projections obli(]nes de la courbe d'intersection et de sa tangente au point ( I). 0"».

En raisonnant de la même manière pour les points a.,, b.,, c.^. .. ., on verrait (|u'ils forment également une ellipse dont les lignes «5^3 et go r. sont deux diamètres conjugués. La dvo\l^ p.,d., est tangente en d^ à cette ellipse.

1(>2. H nous reste encore à déterminer le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe d'intersection, et ceux des courbes transformées (]ni sont le plus éloignés de la ligne de section droite BoH. {/ig- g^)- .^lais, coinmi' \-^/ig- 97 est déjà un peu compli(|uée, nous nous contenterons d'indiquer les tracés. Nous traiterons d'ailleurs la (|uestion d'une manière générale et sans faire aucune supposition sur la forme de la directrice du cylindre.

Si l'on coupe la trace abc. . . par une droite parallide à Q, les génératrices qui