CHAPITRE IV. — SECTIONS PLANES IJLi CVLINOKE ET DU CONE. 8l

passent par les points d'intersection rencontreront le plan sécant à une même hauteur; par suite, si nous menons à cette trace des tangentes parallèles à Q, les génératrices des points de tangencc contiendront, l'un le point le plus haut, l'autre le point le plus bas de la courbe d'intersection.

Aux points (• et g (Jig- 07 ). les tangentes de la trace du cylindre sont parallèles au plan de la section droite: il en résulte que, sur \Afig. 98, les points c et g sont, l'un le plus bas et l'autre le plus haut de la courbe bah .... Pour avoir les points analogues sur la ligne h^aji, il faudrait mener à la courbe d'intersection (fig. 97) des tangentes parallèles à la droite suivantlaquelle son plan coupe le plan de section droite; car une sécante de même direction déterminerait deux points à égale distance de la section droite (').

Il est plus exact de reporter l'opération sur la trace du cylindre. Pour cela, nous remarquerons que, si l'on conçoit par l'intersection du plan (Q, Q' ) et du plan de section droite un troisième plan parallèle aux génératrices du cylindre, il sera parallèle aux plans qui seraient tangents à cette surface aux points cherchés. En menant à la trace du cylindre des tangentes parallèles à la trace du troisième plan, les points de contact seront les extrémités des génératrices qui passent aux points (|u"il s'agit de déterminer.

Sections planes du cône.

\" Exemple. — Cône de réi'otulion à axe vertical; plan sécant perpe/iiUeidaire au plan vertical; seclinit elliptique. (Planche XXV.)

1(>5. Nous nous proposons de déterminer l'intersection par un plan d'un cône de révolution dont l'axe est vertical. Nous prenons le plan sécant ( P, P ) ( fig. 104 ) perpendiculaire au plan vertical; par suite, il projette la courbe sur la partie A'G' de sa trace P', comprise entre les deux génératrices qui forment le contour apparent de la surface.

Pour avoir la projection horizontale, nous divisons la circonférence trace du cône en un certain nombre de parties égales, placées symétriquement par rapport au diamètre ag parallèle à la ligne de terre. Les projections verticales des génératrices qui passent par les points de division coupent la trace P' en des points A', B', C. . .. qu'on ramène en A, B et B,, C et C,. ... sur leurs projections horizontales.

Cette construction ne peut pas être appliquée aux génératrices qui se pro-

( 1 ) Sur la /%. 95, le plan de secLiou droite est le plan horizontal, et les points a' et g' , qui sont l'un le plus éloigné et l'autre le plus rapproché de ce pian, sont ceux où la tangente esl parallèle à la trace P. I. — Dk l.v Govbseiue. — Discriptiic. i i

Ha l.nUli U. - CVLINDUKS, COMS i:i SI lUACES Di: liliVOLlTION.

jetttMit sur la vcrlicalo S'c/'. Pour (léterminrr sur les projections liori/.outalcs Se/ et Sr/, (le ces droites les points D et D, qui correspondent à 1)', on peut couper le cône par un plan horizontal D'o', et tracer le cercle de section sur le plan horizontal de projection avec un rayon So égal à Do'. Si le cône n'était pas de révolution, on pourrait encore employer le plan horizontal Do', mais il faudrait prendre son intersection avec la génératrice (Sd, ^'d') que l'on aurait préalablement fait tourner autour de la verticale du point S, de manière à la rendre parallèle au plan vertical.

Pour la ponctuation des projections, nous avons supposé (|u"il s'agissait de représenter un tronc de cône.

Hii. La tangente en un point F de la projection de la courbe est l'intersection du plan tangent le long de la génératrice S/ et du plan sécant; elle a donc sa trace horizontale à la rencontre des droites //et P, traces des plans. Comme ce point est éloigné, il faut opérer sur un plan horizontal plus élevé, par exemple sur celui qui est à la hauteur du point ( D, D' ). La génératrice Syie rencontre au point /„, et les nouvelles traces du plan tangent et du plan sécant sont les droites /„/ et Sd respectivement parallèles à // et P. La tangente F/ passe au point t où ces droites se rencontrent.

On peut encore, d'un point ( /, /' ) pris sur la trace// du plan tangent, mener une droite (Im, ['m') parallèle à la génératrice du contact (S/, S'/'); cette di'oite sera dans le plan tangent, et le point {/n, m' ) où elle rencontrera le plan sécant appartiendra à la tangente.

165. Pour avoir la courbe en vraie grandeur, nous avons rabattu le plan sécant sur le plan vertical ; un point quelconque (F, F' ) s'est placé en F" sur la droite F'F" perpendiculaire à P', et à la distance à laquelle la proj(>ction horizontale F se trouve de la ligne de terre.

On obtient par le même procédé les tangentes sur le rabattement. Nous avons déterminé pour la tangente en F" les points Tet M, rabattements des points ( /, D' ) et (m, m').

lG(ï. La courbe d'intersection et sa |)rojection sont des ellipses. Nous [)ouvons facilement trouver leurs axes.

On voit, par la construction même, (juc la projectiou horizontale de l'intei'section est symétrique par rapport à la droite ASG perpendiculaire à P. dette droite est donc un axe de la courbe. Le centre est au point milieu O. De même, l'ellipse d'intersection a l'un de ses axes sur la droite (AG, A'ti'), et son centre en (0, 0'). Le second axe se projette verticalement au point 0'; en coupant le cône et le plan sécant par le plan horizontal O'co', nous déterminons les points i2 et 12, delà projection horizontale. La droite ùil, est la projection du second axe et le second axe de la projection.

Kn général, les pi'ojecti(»ns des axi'S d'une ellipse sont sim|)lement des dia-