CHAPITRE IV. — SIXTIONS PI.WES DV CYLINDRE ET DU CONE

mètres conjugués de la projection; mais, si l'un d'eux est parallèle iui plan de projection, comme cela arrive ici, les diamètres conjugués comprennent un angle droit ( art. 46 ) et sont par conséquent les axes.

Traçons une droite S'H parallèle à XY : en considérant un point quelconque (B. B')de la section, on trouve facilement que le rapport deBSà B'H est constant. On en conclut que le point S est un des deux foyers de l'ellipse AG, et que la directrice correspondante est la projection horizontale de la droite d'intersection du plan ( P, P) avec le plan horizontal S'H.

On ohtient sans difficulté les droites A' G" et iî'ii,. axes de la courhe rabattue.

167. Toutes les génératrices ont la même longueur depuis le sommet jusqu'au plan horizontal. Il en résulte que, dans le développement, la transformée de la circonférence de la base est un arc de cercle dont les génératrices sont les rayons. Après avoir tracé (Jig- io5) une partie suffisante de la circonférence dont le rayon est S'«' (/ig. 104), nous prenons sur cette ligne des longueurs curvilignes égales aux arcs ab, bc, ... ; nous traçons les rayons correspondants, et nous portons sur eux les longueurs des génératrices comprises entre le sommet et le plan sécant. Pour déterminer ces longueurs, nous rendons les droites parallèles au plan vertical (^art. 16); leurs projections sur ce plan viennent se confondre avec la ligne ^' g' , et les points d'intersection se transportent sur des horizontales jusqu'à cette droite. Chaque longueur, telle que S'o', doit être portée sur les rayons correspondants S</et S</, (Jig. io5), à partir du centre S.

Nous avons supposé que la surface était coupée suivant la génératrice (A rt,A'a'), et, pour montrer la continuité de la transformée de la courbe, nous l'avons prolongée de chaque côté sur la partie qui correspond à un des secteurs coniques.

On peut obtenir la grandeur des segments curvilignes «/>, bc, ... en décomposant une division du cercle de base en petites parties qu'on puisse assimiler à des droites, et les reportant sur l'arc qui a pour rayon la génératrice du cône; mais, comme les erreurs peuvent s'accumuler, il est plus exact de calculer la grandeur en degrés de l'arc qui représente la circonférence de base, de déterminer avec un rapporteur son amplitude sur le développement, et de la parlagei'

ensuite en parties égales. La giandeur angulaire de cet arc est -V^ x 36o".

Le rapport de aS à a'S' sera souvent donné par la question même; dans tous les cas, on pourra le trouver en mesurant ces lignes.

11 est peu dans l'esprit de la Géométrie descriptive d'employer ainsi le calcul comme auxiliaire, mais il n'y a pas de règle absolue.

168. Les angles de la courbe avec la génératrice ne sont pas altérés dans le développement (art. 122). Nous aurons donc la tangente au point F {fig. io5).

S'i l.lVIiK H. - CVLINDKES. i;i»\KS ET SURFACES DE liÉVOULTION.

(Ml ;i|i|iu\Miil siii' la génératrice les constructions (|ni, dans le plan tangent, feraient trouver la tangente à l'ellipse. On peut supposer que la surface, en se déroulant, recueille dans les différents |ilans tangents les lignes que l'on peut y concevoir et les entraine avec elle.

D'après cela, nous plaçons sur la ///,'■. loj les droites// et/,/ de \a fig. 10/4 dans une direction perpendiculaire à S/; nous traçons Im parallèle à S/, et nous lui donnons la longueur l\rn {fig. lo'i ), véritable grandeur de {Im, l'm'). L'un ou l'autre des points ; ou m suffit pour le tracé de la tangente.

Kîî). Il est utile de déterminer les inflexions de la transformée; nous allons démontrer qu'elles se trouvent au j)oint où le plan sécant était normal ;i la surface.

Nous remplaçons d'abord le cône par une pyramide circonscrite que nous supposons coupée par un plan (P, P') {fig. 107) perpendiculaire à l'une de ses faces (GE, G'S'E'). Cette face est parallèle au plan vertical de projection; elle touche le cône le long de la droite (S, S'I).

La section est projetée verticalement sur la trace P' du plan, et nous aurons sa transformée par développement en amenant par des rotations les diverses faces triangulaires dans le plan GSE parallèle au plan vertical.

Dans le mouvement de rotation de la face F'S'G' autour de S'G', le point A' décrit un arc de cercle dont le centre est au pied a de la perpendiculaire abaissée du point A' sur S'G', et vient se placer en un point A',, à une distance de a égale à la vraie grandeur de cette perpendiculaire. Le point D' va de même en un point D', sur la perpendiculaire c/D' à S'E'. La partie de la section projetée verticalement sur A'B'C'D' est donc en développement A',B'(; D',.

Le point A', est dans celui des deux angles A'B'S' et A'B'G' qui est obtus; il en est de même du point D', par rapport aux angles D'C'E', D'C'S'. Il est d'ailleurs facile de voir que, quand les points B' et C seront placés d'un même côté du pied 0 de la perpendiculaire abaissée du sommet S' sur P', les angles obtus, et par suite les points A', et D, , se trouveront de côtés différents de la droite P'. Or, à moins que la perpendiculaire S'O ne se confonde avec la génératrice S'I du cône, les droites S'G' et SE' pourront toujours être assez rapprochées de cette dernière droite pour que la condition que nous venons d'indiquer soit satisfaite. Nous voyons donc que, lorsqu'on multiplie les faces de la pyramide pour revenir au cône, les sommets A', et D',, qui pouvaient d'abord se trouver d'un même côté de B'(]' prolongé, ai'rivent nécessairement à se placer de côtés dill'erents.

Quand le plan sécant est perpendiculaire à la génératrice S'I {^Jig. 108), les points A', et D', sont du côté de P' oii se trouve le sommet S , (|uelle que soit la ■grandeur de l'angle G'S'E'.

En résumé, dans le (lévcloppcuieiil d'un cône, la transfoi'méc d'une section

niAPITHE l\. — SECTIONS PLANES IiL CYLlNllHE ET Dl CONE. 85

niilc par un plan traverse sa tangente au point où le plan était normal à la surface, à moins toutefois que ce plan ne fût perpendiculaire à la génératrice (').

Ces résultats s'étendent naturellement au cylindre, qui est une variété du cône; ainsi, il est facile de voir qu'au point où nous avons reconnu que la section plane d'un cylindre prenait une inflexion dans le développement (art. 145), le plan sécant est normal à la surface ( -).

Nous n'avons indiqué sur les projections horizontales des //ij-. 107 et 108 ni les arêtes, ni la section de la pyramide, parce que ces lignes ne sont pas nécessaires à la démonstration, et qu'elles auraient pu jeter un peu de confusion.

170. Revenons à h fig. lo'j. Du point D' où le plan coupe l'axe, nous abaissons une perpendiculaire ï)'/c' sur S'^'; cette droite, en tournant autourde l'axe, engendre un cône de révolution qui rencontre orthogonalement le cône donné suivant le cercle décrit par le point k'. Le plan (P, P') contient les deux génératrices (SI, DT) (SI,, D'I') du cône auxiliaire; il est donc normal au premier cône en deux points (I, I') et (1,, I'), qui, rapportés sur \a fig. io5, sont les points d'inflexion de la transformée. On construit les tangentes It, 1,":, comme toutes les autres ( ' ).

171. Il n'y aura d'inflexion que quand le plan sécant coupera le cône auxiliaire; d'après cela, en appelant t et yj les angles aigus que l'axe fait avec les génératrices et le plan de section, on aura deux inflexions, si i -i- r^ < 90", et l'on n'aui'a pas d'inflexion, si £ -+- -q > 90". Les transformées de la section elliptique et de la hase circulaire (^fig- lo'i et loV) donnent des exemples de ces deux cas.

Quand les angles t et -q sont complémentaires, le plan sécant est normal en un seul point et perpendiculaire à la génératrice de ce point; par suite la trans-

(') Oïl peut démontrer ces propositions d'une manière directe et très simple, si l'on admet, ce qui est à peu près évident, que la ligne la plus courte que l'on puisse tracer sur une surface entre deuxpoints a tous ses plans oseulateurs normaux à la surface; car une telle ligne tracée sur un cône a pour transformée une droite, d'où il résulte que la circonstance d'avoir un plan osculateur normal suffit pour que le rayon de courbure de la transformée au point correspondant soit infini.

Pour que la transformée d'une courbe plane tracée sur un cône ait un contact du troisième ordre avec sa tangente, il faut que son plan soit perpendiculaire à deux plans tangents consécutifs, et, par suite, à leur intersection, qui est la génératrice de la surface.

Quand nous parlerons des surfaces développables, nous montrerons que les courbures d'une ligne tracée sur une telle surface, et de sa transformée par développement, sont liées par une loi très simple dont la proposition que nous avons démontrée n'est qu'un corollaire.

(2) Sur la fc. 98 les points d'inflexion de la courbe ba/i sont a et e. Pour la courbe Oiathi, il faut déterminer les génératrices le long desquelles le plan tangent est perpendiculaire au plan(0,Q')(,Ao- 97^- Pour cela, par un point quelconque de l'espace, on mènera deux droites, lune parallèle aux génératrices, l'autre perpendiculaire au plan (Q, Q'); on fera passer un plan par ces lignes, et on chercher.i les points de la trace aLcd où la tangente est parallèle à la trace de ce plau.

(') Ou peut encore construire les génératrices de contact des plans tangents perpendiculaires au plan sécant en menant par le sommet (S, S') du cône une perpendiculaire au plan (P, P"), et en faisant passer par celle droite des plans tangents au cône.